En la teoría de las álgebras de von Neumann , un subfactor de un factor es una subálgebra que es un factor y contiene . La teoría de subfactores condujo al descubrimiento del polinomio de Jones en la teoría de nudos .
Índice de un subfactor
Por lo general se toma como un factor de tipo , de modo que tenga una traza finita. En este caso, todos los módulos espaciales de Hilbert tiene una dimensión que es un número real no negativo o . El índice de un subfactor se define como . Aquí es la representación de obtenido de la construcción GNS de la traza de.
Teorema del índice de Jones
Esto establece que si es un subfactor de (ambos de tipo ) luego el índice es cualquiera de la forma por , o es al menos . Todos estos valores ocurren.
Los primeros valores de están
Construcción básica
Suponer que es un subfactor de , y que ambos son álgebras de von Neumann finitas. La construcción de GNS produce un espacio de Hilbert actuado por con un vector cíclico . Dejar ser la proyección en el subespacio . Luego y generar un nuevo álgebra de von Neumann actuando , conteniendo como subfactor. El pasaje de la inclusión de en a la inclusión de en se llama la construcción básica .
Si y son ambos factores de tipo y tiene un índice finito en luego también es de tipo . Además, las inclusiones tienen el mismo índice: y .
Torre Jones
Suponer que es una inclusión de tipo factores de índice finito. Al iterar la construcción básica obtenemos una torre de inclusiones
dónde y , y cada es generado por el álgebra anterior y una proyección. La unión de todas estas álgebras tiene un estado tracial cuya restricción a cada uno es el estado tracial, por lo que el cierre de la unión es otro tipo álgebra de von Neumann .
El álgebra contiene una secuencia de proyecciones que satisfacen las relaciones de Temperley-Lieb en el parámetro. Además, el álgebra generada por el es un -álgebra en la que el son autoadjuntos, y tales que Cuándo está en el álgebra generada por hasta . Siempre que se satisfacen estas condiciones adicionales, el álgebra se llama álgebra de Temperly-Lieb-Jones en el parámetro. Puede demostrarse que es único hasta-isomorfismo. Existe solo cuando asume esos valores especiales por , o los valores mayores que .
Invariante estándar
Suponer que es una inclusión de tipo factores de índice finito. Dejemos que los conmutadores relativos superiores sean y .
El invariante estándar del subfactor es la siguiente cuadrícula:
que es un invariante completo en el caso susceptible. [1] Una axiomatización diagramática del invariante estándar viene dada por la noción de álgebra plana .
Gráficos principales
Un subfactor de índice finito se dice que es irreductible si se satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- es irreductible como un bimodule;
- la commutant relativa es .
En este caso define un bimódulo así como su conjugado bimódulo . El producto tensor relativo, se describe en Jones (1983) y, a menudo llamado fusión Connes después de una definición previa para generales álgebra de von Neumann de Alain Connes , se puede utilizar para definir nuevos bimódulos sobre, , y descomponiendo los siguientes productos tensoriales en componentes irreducibles:
El irreductible y los bimódulos que surgen de esta manera forman los vértices del grafo principal , un grafo bipartito . Los bordes dirigidos de estos gráficos describen la forma en que un bimódulo irreducible se descompone cuando se tensa con y a la derecha. El gráfico principal dual se define de manera similar utilizando y bimodules.
Dado que cualquier bimódulo corresponde a las acciones de conmutación de dos factores, cada factor está contenido en la conmutación del otro y, por lo tanto, define un subfactor. Cuando el bimódulo es irreducible, su dimensión se define como la raíz cuadrada del índice de este subfactor. La dimensión se amplía aditivamente a sumas directas de bimódulos irreducibles. Es multiplicativo con respecto a la fusión de Connes.
Se dice que el subfactor tiene una profundidad finita si el gráfico principal y su dual son finitos, es decir, si en estas descomposiciones sólo se producen una cantidad finita de bimódulos irreducibles. En este caso si y son hiperfinitas, Sorin Popa demostró que la inclusión es isomorfo al modelo
donde el Los factores se obtienen de la construcción GNS con respecto a la traza canónica.
Polinomios de nudos
El álgebra generada por los elementos con las relaciones anteriores se llama álgebra de Temperley-Lieb . Este es un cociente del álgebra de grupo del grupo de trenzas , por lo que las representaciones del álgebra de Temperley-Lieb dan representaciones del grupo de trenzas, que a su vez a menudo dan invariantes para los nudos.
Referencias
- ^ Popa, Sorin (1994), "Clasificación de subfactores susceptibles de tipo II", Acta Mathematica , 172 (2): 163-255, doi : 10.1007 / BF02392646 , MR 1278111
- Jones, Vaughan FR (1983), "Índice de subfactores" , Inventiones Mathematicae , 72 : 1–25, doi : 10.1007 / BF01389127
- Wenzl, HG (1988), "Álgebras de Hecke de tipo A n y subfactores" , Invent. Matemáticas. , 92 (2): 349–383, doi : 10.1007 / BF01404457 , MR 0696688
- Jones, Vaughan FR ; Sunder, Viakalathur Shankar (1997). Introducción a los subfactores . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 234 . Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017 / CBO9780511566219 . ISBN 0-521-58420-5. Señor 1473221 .
- Teoría de las álgebras del operador III por M. Takesaki ISBN 3-540-42913-1
- Wassermann, Antony . "Operadores en el espacio de Hilbert" .