En matemáticas , el producto tensorial de las formas cuadráticas se comprende más fácilmente cuando se ven las formas cuadráticas como espacios cuadráticos . Si R es un anillo conmutativo donde 2 es invertible (es decir, R tiene la característica
), y si
y
son dos espacios cuadráticos sobre R , entonces su producto tensorial
es el espacio cuadrática cuya subyacente R - módulo es el producto tensorial
de módulos R y cuya forma cuadrática es la forma cuadrática asociada al producto tensorial de las formas bilineales asociadas a
y
.
En particular, la forma
satisface
![{\ Displaystyle (q_ {1} \ otimes q_ {2}) (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = q_ {1} (v_ {1}) q_ {2} (v_ {2}) \ quad \ forall v_ {1} \ in V_ {1}, \ v_ {2} \ in V_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(que lo caracteriza de forma única, sin embargo). De esto se deduce que si las formas cuadráticas son diagonalizables (lo que siempre es posible si 2 es invertible en R ), es decir,
![q_ {1} \ cong \ langle a_ {1}, ..., a_ {n} \ rangle](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![q_ {2} \ cong \ langle b_ {1}, ..., b_ {m} \ rangle](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces el producto tensorial tiene diagonalización
![{\ Displaystyle q_ {1} \ otimes q_ {2} \ cong \ langle a_ {1} b_ {1}, a_ {1} b_ {2}, ... a_ {1} b_ {m}, a_ {2 } b_ {1}, ..., a_ {2} b_ {m}, ..., a_ {n} b_ {1}, ... a_ {n} b_ {m} \ rangle.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)