Teorema fundamental del álgebra

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El teorema fundamental del álgebra , también conocido como teorema de d'Alembert ^[1] o teorema de d'Alembert-Gauss ^[2] , establece que todo polinomio no constante de una sola variable con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja . Esto incluye polinomios con coeficientes reales, ya que todo número real es un número complejo con su parte imaginaria igual a cero.

De manera equivalente (por definición), el teorema establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado .

El teorema también se expresa de la siguiente manera: todo polinomio distinto de cero, de una sola variable, de grado n con coeficientes complejos tiene, contados con multiplicidad , exactamente n raíces complejas. La equivalencia de las dos afirmaciones se puede demostrar mediante el uso de la división polinomial sucesiva .

A pesar de su nombre, no existe una prueba puramente algebraica del teorema, ya que cualquier prueba debe utilizar alguna forma de completitud analítica de los números reales , que no es un concepto algebraico . ^[3] Además, no es fundamental para el álgebra moderna ; su nombre se le dio en un momento en que el álgebra era sinónimo de teoría de ecuaciones .

Peter Roth, en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608, en Nürnberg, por Johann Lantzenberger), ^[4] escribió que una ecuación polinomial de grado n (con coeficientes reales) puede tener n soluciones. Albert Girard , en su libro L'invention nouvelle en l'Algèbre (publicado en 1629), afirmaba que una ecuación polinomial de grado n tiene nsoluciones, pero no dijo que tenían que ser números reales. Además, agregó que su afirmación se cumple "a menos que la ecuación sea incompleta", con lo que quiso decir que ningún coeficiente es igual a 0. Sin embargo, cuando explica en detalle lo que quiere decir, es claro que en realidad cree que su afirmación es siempre cierto; por ejemplo, muestra que la ecuación , aunque incompleta, tiene cuatro soluciones (contando multiplicidades): 1 (dos veces) y${\ estilo de visualización x ^ {4} = 4x-3,}$${\displaystyle -1+i{\sqrt {2}},}$${\displaystyle -1-i{\sqrt {2}}.}$

Como se mencionará nuevamente más adelante, del teorema fundamental del álgebra se sigue que todo polinomio no constante con coeficientes reales puede escribirse como un producto de polinomios con coeficientes reales cuyos grados son 1 o 2. Sin embargo, en 1702 Leibniz dijo erróneamente que ningún polinomio del tipo x ⁴ + a ⁴ (con real y distinto de 0) puede escribirse de tal manera. Posteriormente, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación sobre el polinomio x ⁴ − 4 x ³ + 2 x ² + 4 x + 4 , pero recibió una carta de Euleren 1742 ^[5] en el que se demostró que este polinomio es igual a

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