Las splines de placa delgada ( TPS ) son una técnica basada en splines para la interpolación y suavizado de datos . Fueron introducidos al diseño geométrico por Duchon. [1] Son un caso especial importante de spline poliarmónico . Robust Point Matching (RPM) es una extensión común y brevemente conocida como el algoritmo TPS-RPM. [2]
Analogía física
El nombre spline de placa delgada se refiere a una analogía física que implica el doblado de una hoja delgada de metal. Así como el metal tiene rigidez, el ajuste TPS también resiste la flexión, lo que implica una penalización que involucra la suavidad de la superficie ajustada. En el entorno físico, la deflexión está en eldirección, ortogonal al plano. Para aplicar esta idea al problema de la transformación de coordenadas, se interpreta el levantamiento de la placa como un desplazamiento de la o coordenadas dentro del plano. En casos 2D, dado un conjunto de puntos correspondientes, la deformación TPS se describe mediante parámetros que incluyen 6 parámetros de movimiento afines globales y coeficientes para correspondencias de los puntos de control. Estos parámetros se calculan resolviendo un sistema lineal, en otras palabras, TPS tiene una solución de forma cerrada .
Medida de suavidad
El TPS surge de la consideración de la integral del cuadrado de la segunda derivada; esto forma su medida de suavidad. En el caso donde es bidimensional, para la interpolación, el TPS se ajusta a una función de mapeo entre conjuntos de puntos correspondientes y que minimiza la siguiente función energética:
La variante de suavizado, en consecuencia, utiliza un parámetro de ajuste para controlar la rigidez de la deformación, equilibrando el criterio antes mencionado con la medida de bondad de ajuste, minimizando así:
Para este problema variacional, se puede demostrar que existe un minimizador único . [3] La discretización de elementos finitos de este problema variacional, el método de mapas elásticos , se utiliza para la minería de datos y la reducción de dimensionalidad no lineal .
Funcion de base radial
La ranura de placa delgada tiene una representación natural en términos de funciones de base radial. Dado un conjunto de puntos de control, una función de base radial define un mapeo espacial que mapea cualquier ubicación en el espacio a una nueva ubicación , representado por
dónde denota la norma euclidiana habitual yes un conjunto de coeficientes de mapeo. El TPS corresponde al kernel de base radial.
Ranura
Suponga que los puntos están en 2 dimensiones (). Se pueden usar coordenadas homogéneas para el conjunto de puntos donde un punto se representa como un vector . El minimizador único está parametrizado por que consta de dos matrices y ().
donde d es un matriz que representa la transformación afín (de ahí es un vector) yc es un Matriz de coeficientes de deformación que representa la deformación no afín. La función del kernel es un vector para cada punto , donde cada entrada . Tenga en cuenta que para TPS, los puntos de control se eligen para que sean iguales al conjunto de puntos a deformar , entonces ya usamos en el lugar de los puntos de control.
Si se sustituye la solución por , se convierte en:
dónde y son solo versiones concatenadas de las coordenadas del punto y , y es un matriz formada a partir de la . Cada fila de cada matriz recién formada proviene de uno de los vectores originales. La matrizrepresenta el kernel de TPS. Hablando libremente, el kernel de TPS contiene la información sobre las relaciones estructurales internas del conjunto de puntos. Cuando se combina con los coeficientes de deformación, se genera una deformación no rígida.
Una buena propiedad del TPS es que siempre se puede descomponer en un componente afín global y uno no afín local. En consecuencia, el término de suavidad de TPS depende únicamente de los componentes no afines. Esta es una propiedad deseable, especialmente cuando se compara con otras splines, ya que los parámetros de pose global incluidos en la transformación afín no se penalizan.
Aplicaciones
TPS se ha utilizado ampliamente como modelo de transformación no rígido en la alineación de imágenes y la coincidencia de formas. [4] Una aplicación adicional es el análisis y comparaciones de hallazgos arqueológicos en 3D [5] y se implementó para mallas triangulares en el marco de software GigaMesh . [6]
La ranura de placa delgada tiene varias propiedades que han contribuido a su popularidad:
- Produce superficies lisas, infinitamente diferenciables.
- No hay parámetros libres que necesiten ajuste manual.
- Tiene soluciones de forma cerrada tanto para deformación como para estimación de parámetros.
- Hay una explicación física para su función energética.
Sin embargo, tenga en cuenta que las estrías que ya están en una dimensión pueden causar "sobreimpulsos" graves. En 2D, estos efectos pueden ser mucho más críticos, porque los TPS no son objetivos. [ cita requerida ]
Ver también
- Ponderación de distancia inversa
- Funcion de base radial
- Superficie de subdivisión (alternativa emergente a las superficies basadas en splines)
- Mapa elástico (una versión discreta de la aproximación de placa delgada para el aprendizaje múltiple )
- Ranura
- Spline poliarmónico (el spline de placa delgada es un caso especial de spline poliarmónico)
- Suavizar spline
Referencias
- ^ J. Duchon, 1976, Splines que minimizan las semi-normas invariantes de rotación en espacios de Sobolev. pp 85-100, en: Teoría constructiva de funciones de varias variables, Oberwolfach 1976, W. Schempp y K. Zeller , eds., Lecture Notes in Math., vol. 571, Springer, Berlín, 1977. doi : 10.1007 / BFb0086566
- ^ Chui, Haili (2001), Coincidencia de puntos no rígidos: algoritmos, extensiones y aplicaciones , Universidad de Yale, New Haven, CT, EE. UU., CiteSeerX 10.1.1.109.6855
- ^ Wahba , Grace (1990), modelos Spline para datos de observación , Filadelfia, PA, EE. UU .: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), CiteSeerX 10.1.1.470.5213 , doi : 10.1137 / 1.9781611970128 , ISBN 978-0-89871-244-5
- ^ Bookstein, FL (junio de 1989). "Deformaciones principales: estrías de chapa fina y descomposición de deformaciones". Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia de máquinas . 11 (6): 567–585. doi : 10.1109 / 34.24792 .
- ^ Bogacz, Bartosz; Papadimitriou, Nikolas; Panagiotopoulos , Diamantis; Mara, Hubert (2019), "Recuperación y visualización de deformaciones en sellados egeos 3D" , Proc. Of the 14th International Conference on Computer Vision Theory and Application (VISAPP) , Praga, República Checa , consultado el 28 de marzo de 2019
- ^ "Tutorial No. 13: Aplicar Transformación TPS-RPM" . Marco de software GigaMesh . Consultado el 3 de marzo de 2019 .
enlaces externos
- Explicación de un problema de variación simplificado
- TPS en MathWorld
- TPS en C ++
- TPS en plantillas de C ++
- Demostración de transformación interactiva de TPS
- TPS en R