Los mapas elásticos proporcionan una herramienta para la reducción de dimensionalidad no lineal . Por su construcción, son un sistema de resortes elásticos incrustados en el espacio de datos. [1] Este sistema se aproxima a una variedad de baja dimensión. Los coeficientes elásticos de este sistema permiten el cambio de agrupamiento de k-medias completamente desestructurado (elasticidad cero) a los estimadores ubicados cerca de los colectores de PCA lineales (para módulos de alta flexión y baja extensión). Con algunos valores intermedios de los coeficientes de elasticidad , este sistema se aproxima efectivamente a las variedades principales no lineales. Este enfoque se basa en una mecánicaanalogía entre variedades principales, que pasan por "el medio" de la distribución de datos, y membranas y placas elásticas. El método fue desarrollado por AN Gorban , AY Zinovyev y AA Pitenko en 1996-1998.
Energía del mapa elástico
Dejar ser un conjunto de datos en un espacio euclidiano de dimensión finita . El mapa elástico está representado por un conjunto de nodosen el mismo espacio. Cada punto de datostiene un nodo anfitrión , es decir, el nodo más cercano(si hay varios nodos más cercanos, se toma el nodo con el número más pequeño). El conjunto de datos se divide en clases .
La energía de aproximación D es la distorsión
- ,
que es la energía de los resortes con elasticidad unitaria que conectan cada punto de datos con su nodo anfitrión. Es posible aplicar factores de ponderación a los términos de esta suma, por ejemplo, para reflejar la desviación estándar de la función de densidad de probabilidad de cualquier subconjunto de puntos de datos..
Sobre el conjunto de nodos se define una estructura adicional. Algunos pares de nodos,, están conectados por bordes elásticos . Llame a este conjunto de pares. Algunos tripletes de nodos,, forman costillas dobladas . Llame a este conjunto de trillizos.
- La energía de estiramiento es ,
- La energía de flexión es ,
dónde y son los módulos de estiramiento y flexión respectivamente. La energía de estiramiento a veces se denomina membrana , mientras que la energía de flexión se denomina término de placa delgada . [5]
Por ejemplo, en la cuadrícula rectangular 2D, los bordes elásticos son solo bordes verticales y horizontales (pares de vértices más cercanos) y los nervios de flexión son los tripletes verticales u horizontales de vértices consecutivos (más cercanos).
- La energía total del mapa elástico es entonces
La posición de los nodos está determinada por el equilibrio mecánico del mapa elástico, es decir, su ubicación es tal que minimiza la energía total.
Algoritmo de maximización de expectativas
Para una división determinada de conjunto de datos en clases , minimización del funcional cuadrático es un problema lineal con la escasa matriz de coeficientes. Por lo tanto, de manera similar al análisis de componentes principales o k-medias , se utiliza un método de división:
- Por dado encontrar ;
- Por dado minimizar y encontrar ;
- Si no hay cambios, rescindir.
Este algoritmo de maximización de expectativas garantiza un mínimo local de. Para mejorar la aproximación se proponen varios métodos adicionales. Por ejemplo, se utiliza la estrategia de ablandamiento . Esta estrategia comienza con rejillas rígidas (módulos de pequeña longitud, pequeña flexión y gran elasticidad y coeficientes) y acabados con rejillas blandas (pequeñas y ). El entrenamiento se desarrolla en varias épocas, cada época con su propia rigidez de cuadrícula. Otra estrategia adaptativa está creciendo en red : se parte de una pequeña cantidad de nodos y gradualmente se agregan nuevos. Cada época va con su propio número de nodos.
Aplicaciones
Las aplicaciones más importantes del método y del software libre [3] se encuentran en bioinformática [7] [8] para el análisis exploratorio de datos y visualización de datos multidimensionales, para la visualización de datos en ciencias económicas, sociales y políticas, [9] como herramienta auxiliar para mapeo de datos en sistemas de información geográfica y para visualización de datos de diversa naturaleza.
El método se aplica en biología cuantitativa para reconstruir la superficie curva de una hoja de árbol a partir de una pila de imágenes de microscopía óptica. [10] Esta reconstrucción se utiliza para cuantificar las distancias geodésicas entre los tricomas y su patrón, que es un marcador de la capacidad de una planta para resistir a los patógenos.
Recientemente, el método se adapta como herramienta de apoyo en el proceso de decisión subyacente a la selección, optimización y gestión de carteras financieras . [11]
El método de mapas elásticos ha sido probado y comparado sistemáticamente con varios métodos de aprendizaje automático sobre el problema aplicado de identificación del régimen de flujo de un flujo gas-líquido en una tubería. [12] Hay varios regímenes: flujo de agua o aire monofásico, flujo burbujeante, flujo de slug burbujeante, flujo de slug, flujo de slug-churn, flujo de churn, flujo de churn-anular y flujo anular. El método más simple y común utilizado para identificar el régimen de flujo es la observación visual. Sin embargo, este enfoque es subjetivo e inadecuado para caudales de gas y líquido relativamente altos. Por lo tanto, muchos autores proponen los métodos de aprendizaje automático. Los métodos se aplican a los datos de presión diferencial recopilados durante un proceso de calibración. El método de mapas elásticos proporcionó un mapa 2D, donde se representa el área de cada régimen. La comparación con algunos otros métodos de aprendizaje automático se presenta en la Tabla 1 para varios diámetros y presiones de tubería.
Calibración | Pruebas | Mayor diámetro | Mayor presión | |
---|---|---|---|---|
Mapa elástico | 100 | 98,2 | 100 | 100 |
ANA | 99,1 | 89,2 | 76,2 | 70,5 |
SVM | 100 | 88,5 | 61,7 | 70,5 |
SOM (pequeño) | 94,9 | 94,2 | 83,6 | 88,6 |
SOM (grande) | 100 | 94,6 | 82,1 | 84,1 |
Aquí, ANN significa redes neuronales artificiales de retropropagación , SVM significa máquina de vectores de soporte , SOM significa mapas autoorganizados . La tecnología híbrida se desarrolló para aplicaciones de ingeniería. [13] En esta tecnología, los mapas elásticos se utilizan en combinación con el análisis de componentes principales (PCA), el análisis de componentes independientes (ICA) y la ANN de retropropagación.
El libro de texto [14] proporciona una comparación sistemática de mapas elásticos y mapas autoorganizados (MOS) en aplicaciones para la toma de decisiones económicas y financieras.
Referencias
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- ^ Wang, Y., Klijn, JG, Zhang, Y., Sieuwerts, AM, Look, MP, Yang, F., Talantov, D., Timmermans, M., Meijer-van Gelder, ME, Yu, J. et al .: Perfiles de expresión génica para predecir metástasis a distancia del cáncer de mama primario con ganglios linfáticos negativos. Lancet 365, 671–679 (2005); Datos en línea
- ^ a b A. Zinovyev, ViDaExpert - Herramienta de visualización de datos multidimensionales (gratuita para uso no comercial). Institut Curie , París.
- ^ A. Zinovyev, descripción general de ViDaExpert , IHES ( Institut des Hautes Études Scientifiques ), Bures-Sur-Yvette, Île-de-France.
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