En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Thompson Th es un grupo simple esporádico de orden
- 2 15 · 3 10 · 5 3 · 7 2 · 13 · 19 · 31
- = 90745943887872000
- ≈ 9 × 10 16 .
Historia
Este es uno de los 26 grupos esporádicos y fue encontrado por John G. Thompson ( 1976 ) y construido por Smith (1976) . Lo construyeron como el grupo de automorfismos de un cierto entramado en el álgebra de Lie de 248 dimensiones de E 8 . No conserva el corchete de Lie de esta celosía, pero conserva el corchete de Lie mod 3, por lo que es un subgrupo del grupo Chevalley E 8 (3). El subgrupo que conserva el corchete de Lie (sobre los enteros) es un subgrupo máximo del grupo de Thompson llamado grupo Dempwolff (que a diferencia del grupo de Thompson es un subgrupo del grupo de Lie compacto E 8 ).
Representaciones
El centralizador de un elemento de orden 3 de tipo 3C en el grupo Monster es un producto del grupo de Thompson y un grupo de orden 3, como resultado de lo cual el grupo de Thompson actúa sobre un álgebra de operador de vértice sobre el campo con 3 elementos. Este álgebra de operadores de vértice contiene el álgebra de E 8 Lie sobre F 3 , lo que da la inclusión de Th en E 8 (3).
El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo del grupo de Thompson son triviales.
Moonshine monstruoso generalizado
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la monstruosa luz de la luna no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para Th , la serie relevante de McKay-Thompson es( OEIS : A007245 ),
y j ( τ ) es el invariante j .
Subgrupos máximos
Linton (1989) encontró las 16 clases de conjugación de subgrupos máximos de Th de la siguiente manera:
- 2 + 1 + 8 · A
- 2 5 · L 5 (2) Este es el grupo Dempwolff
- (3 x G 2 (3)): 2
- (3 3 × 3 + 1 + 2 ) · 3 + 1 + 2 : 2 S 4
- 3 2 · 3 7 : 2 S 4
- (3 × 3 4 : 2 · A 6 ): 2
- 5 + 1 + 2 : 4 S 4
- 5 2 : GL 2 (5)
- 7 2 : (3 × 2 S 4 )
- 31: 15
- 3 D 4 (2): 3
- U 3 (8): 6
- L 2 (19)
- L 3 (3)
- M 10
- S 5
Referencias
- Linton, Stephen A. (1989), "Los subgrupos máximos del grupo Thompson", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Segunda Serie, 39 (1): 79-88, doi : 10.1112 / jlms / s2-39.1.79 , ISSN 0024-6107 , MR 0989921
- Smith, PE (1976), "Un subgrupo simple de M? Y E 8 (3)", The Bulletin of the London Mathematical Society , 8 (2): 161-165, doi : 10.1112 / blms / 8.2.161 , ISSN 0024-6093 , MR 0409630
- Thompson, John G. (1976), "A conjugacy teorema para E 8 ", Journal of Algebra , 38 (2): 525-530, doi : 10,1016 / 0021-8693 (76) 90235-0 , ISSN 0021-8693 , Señor 0399193