La lámpara de Thomson es un acertijo filosófico basado en infinitos. Fue ideado en 1954 por el filósofo británico James F. Thomson , quien lo utilizó para analizar la posibilidad de una supertarea , que es la realización de un número infinito de tareas.
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Considere una lámpara con un interruptor de palanca . Al presionar el interruptor una vez se enciende la lámpara. Otro movimiento apagará la lámpara. Supongamos ahora que hay un ser que es capaz de realizar la siguiente tarea: pone en marcha un temporizador y enciende la lámpara. Al cabo de un minuto, lo apaga. Al cabo de otro medio minuto, vuelve a encenderlo. Al cabo de otro cuarto de minuto, lo apaga. En el siguiente octavo de minuto, lo enciende de nuevo, y continúa así, presionando el interruptor cada vez después de esperar exactamente la mitad del tiempo que esperó antes de presionarlo previamente. [1] La suma de esta serie infinita de intervalos de tiempo es exactamente dos minutos. [2]
Entonces se considera la siguiente pregunta: ¿La lámpara está encendida o apagada a los dos minutos? [1] Thomson razonó que esta supertarea crea una contradicción:
Parece imposible responder a esta pregunta. No puede estar encendido, porque nunca lo encendí sin apagarlo de inmediato. No puede estar apagado, porque en primer lugar lo encendí y, a partir de entonces, nunca lo apagué sin encenderlo de inmediato. Pero la lámpara debe estar encendida o apagada. Ésta es una contradicción. [1]
Analogía de series matemáticas
La pregunta está relacionada con el comportamiento de la serie de Grandi , es decir , la serie infinita divergente
- S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·
Para valores pares de n , la serie finita anterior suma 1; para valores impares, suma 0. En otras palabras, como n toma los valores de cada uno de los enteros no negativos 0, 1, 2, 3, ... a su vez, la serie genera la secuencia {1, 0, 1, 0, ...}, que representa el estado cambiante de la lámpara. [3] La secuencia no converge cuando n tiende a infinito, por lo que tampoco lo hace la serie infinita.
Otra forma de ilustrar este problema es reorganizar la serie:
- S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·)
La serie interminable entre paréntesis es exactamente la misma que la serie S original . Esto significa S = 1 - S lo que implica S = 1 ⁄ 2 . De hecho, esta manipulación puede estar rigurosamente justificada: existen definiciones generalizadas para las sumas de series que sí asignan a las series de Grandi el valor 1 ⁄ 2 .
Uno de los objetivos de Thomson en su artículo original de 1954 es diferenciar las supertareas de sus analogías en serie. Escribe sobre la lámpara y la serie de Grandi,
Entonces la pregunta de si la lámpara está encendida o apagada ... es la pregunta: ¿Cuál es la suma de la secuencia divergente infinita?
+1, −1, +1, ...?
Ahora bien, los matemáticos dicen que esta secuencia tiene una suma; dicen que su suma es 1 ⁄ 2 . Y esta respuesta no nos ayuda, ya que aquí no le damos ningún sentido a decir que la lámpara está medio encendida. Entiendo que esto significa que no existe un método establecido para decidir qué se hace cuando se realiza una supertarea. … No se puede esperar que tomemos esta idea, simplemente porque tenemos la idea de que se ha realizado una tarea o tareas y porque estamos familiarizados con los números transfinitos. [4]
Más tarde, afirma que incluso la divergencia de una serie no proporciona información sobre su supertarea: "La imposibilidad de una supertarea no depende en absoluto de si alguna secuencia aritmética vagamente sentida como asociada es convergente o divergente . " [5]
Ver también
Notas
- ↑ a b c Thomson , 1954 , pág. 5.
- ^ Thomson 1954 , p. 9.
- ^ Thomson 1954 , p. 6.
- ^ Thomson p.6. Para las matemáticas y su historia cita los libros de Hardy y Waismann, para los cuales vea la serie Historia de Grandi .
- ^ Thomson 1954 , p. 7.
Referencias
- Allen, Benjamin William (2008). Zenón, Aristóteles, el hipódromo y el Aquiles: una investigación histórica y filosófica . New Brunswick, Nueva Jersey: Rutgers, Universidad Estatal de Nueva Jersey. págs. 209–210. ISBN 9781109058437.
- Benacerraf, Paul (1962). "Tareas, supertareas y la moderna Eleatics". La Revista de Filosofía . 59 (24): 765–784. doi : 10.2307 / 2023500 . JSTOR 2023500 .
- Huggett, Nick (2010). Everywhere and Everywhen: Adventures in Physics and Philosophy: Adventures in Physics and Philosophy . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 22-23. ISBN 9780199702114.
- Thomson, James F. (octubre de 1954). "Tareas y supertareas". Análisis . Análisis, vol. 15, núm. 1. 15 (1): 1-13. doi : 10.2307 / 3326643 . JSTOR 3326643 .
- Earman, John y Norton, John (1996) Infinite Pains: The Trouble with Supertasks. En Benacerraf y sus críticos , Adam Morton y Stephen P. Stich (Eds.), P. 231-261.