En la teoría de grupos , las transformaciones de Tietze se utilizan para transformar una presentación determinada de un grupo en otra presentación, a menudo más simple, del mismo grupo . Estas transformaciones llevan el nombre de Heinrich Franz Friedrich Tietze, quien las presentó en un artículo en 1908.
Una presentación es en términos de generadores y relaciones ; formalmente hablando, la presentación es un par de un conjunto de generadores con nombre y un conjunto de palabras en el grupo libre sobre los generadores que se toman como relaciones. Las transformaciones de Tietze se componen de pasos elementales, cada uno de los cuales individualmente lleva la presentación a una presentación de un grupo isomorfo . Estos pasos elementales pueden operar sobre generadores o relaciones, y son de cuatro tipos.
Si una relación se puede derivar de las relaciones existentes, entonces se puede agregar a la presentación sin cambiar el grupo. Sea G = 〈x | x 3 = 1〉 sea una presentación finita para el grupo cíclico de orden 3. Multiplicando x 3 = 1 en ambos lados por x 3 obtenemos x 6 = x 3 = 1 entonces x 6 = 1 es derivable de x 3 = 1. Por tanto, G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1〉 es otra presentación para el mismo grupo.
Si una relación en una presentación se puede derivar de las otras relaciones, entonces se puede eliminar de la presentación sin afectar al grupo. En G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1〉 la relación x 6 = 1 se puede derivar de x 3 = 1 por lo que se puede eliminar con seguridad. Sin embargo, tenga en cuenta que si x 3 = 1 se elimina de la presentación, el grupo G = 〈x | x 6= 1〉 define el grupo cíclico de orden 6 y no define el mismo grupo. Se debe tener cuidado de mostrar que cualquier relación que se elimine es consecuencia de las otras relaciones.
Dada una presentación es posible agregar un nuevo generador que se expresa como una palabra en los generadores originales. Comenzando con G = 〈x | x 3 = 1〉 y dejando y = x 2 la nueva presentación G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 define el mismo grupo.
Si se puede formar una relación donde uno de los generadores es una palabra en los otros generadores, entonces ese generador puede eliminarse. Para hacer esto, es necesario reemplazar todas las apariciones del generador eliminado con su palabra equivalente. La presentación del grupo abeliano elemental de orden 4, G = 〈x, y, z | x = yz, y 2 = 1, z 2 = 1, x = x −1〉 se puede reemplazar por G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1〉 quitando x .