En matemáticas , en el área del álgebra conmutativa , el cierre estrecho es una operación definida sobre ideales en característica positiva . Fue introducido por Melvin Hochster y Craig Huneke ( 1988 , 1990 ).
Dejar ser un anillo noetheriano conmutativo que contiene un campo de características. Por esoes un número primo .
Dejar ser un ideal de . El cierre hermético de, denotado por , es otro ideal de conteniendo . El ideal se define de la siguiente manera.
- si y solo si existe un , dónde no está contenido en ningún ideal primo mínimo de , tal que para todos . Si se reduce, entonces uno puede considerar en su lugar todo .
Aquí se utiliza para denotar el ideal de generado por el los poderes de los elementos de , llamó al th Frobenius poder de.
Un ideal se llama herméticamente cerrado si . Un anillo en el que todos los ideales están estrechamente cerrados se llama débilmente-regular (para Frobenius regular). Una pregunta anterior importante abierta en el cierre hermético es si la operación de cierre hermético conmuta con la localización , por lo que existe la noción adicional de-regular, que dice que todos los ideales del anillo todavía están estrechamente cerrados en las localizaciones del anillo.
Brenner y Monsky (2010) encontraron un contraejemplo de la propiedad de localización del cierre hermético. Sin embargo, todavía hay una pregunta abierta sobre si cada débil-el anillo regular es -regular. Es decir, si todos los ideales de un anillo están estrechamente cerrados, ¿es cierto que todos los ideales en todas las localizaciones de ese anillo también están estrechamente cerrados?
Referencias
- Brenner, Holger; Monsky, Paul (2010), "El cierre hermético no conmuta con la localización", Annals of Mathematics , Second Series, 171 (1): 571–588, arXiv : 0710.2913 , doi : 10.4007 / annals.2010.171.571 , ISSN 0003- 486x , MR 2630050
- Hochster, Melvin; Huneke, Craig (1988), "Tightly closed idealesals", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 18 (1): 45–48, doi : 10.1090 / S0273-0979-1988-15592-9 , ISSN 0002-9904 , MR 0919658
- Hochster, Melvin; Huneke, Craig (1990), "Cierre estricto, teoría invariante y el teorema de Briançon-Skoda", Journal of the American Mathematical Society , 3 (1): 31-116, doi : 10.2307 / 1990984 , ISSN 0894-0347 , JSTOR 1990984 , MR 1017784