En física teórica , el orden de ruta es el procedimiento (o un metaoperador ) que ordena un producto de operadores según el valor de un parámetro elegido :
Aquí p es una permutación que ordena los parámetros por valor:
Por ejemplo:
Ejemplos de
Si un operador no se expresa simplemente como un producto, sino como una función de otro operador, primero debemos realizar una expansión de Taylor de esta función. Este es el caso del bucle de Wilson , que se define como una trayectoria exponencial ordenada para garantizar que el bucle de Wilson codifica la holonomía de la conexión de calibre . El parámetro σ que determina el orden es un parámetro que describe el contorno , y debido a que el contorno está cerrado, el bucle de Wilson debe definirse como una traza para que sea invariante en cuanto al calibre .
Orden de tiempo
En la teoría cuántica de campos es útil tomar el producto ordenado en el tiempo de los operadores. Esta operación se denota por. (Aunquea menudo se le llama el "operador de ordenación del tiempo", estrictamente hablando, no es un operador de estados ni un superoperador de operadores).
Para dos operadores A ( x ) y B ( y ) que dependen de las ubicaciones del espacio-tiempo xey definimos:
Aquí y denotar las coordenadas de tiempo escalares invariantes de los puntos xey. [1]
Explícitamente tenemos
dónde denota la función escalón Heaviside y ladepende de si los operadores son de naturaleza bosónica o fermiónica . Si es bosónico, siempre se elige el signo +, si es fermiónico, el signo dependerá del número de intercambios de operadores necesarios para lograr el orden de tiempo adecuado. Tenga en cuenta que los factores estadísticos no entran aquí.
Dado que los operadores dependen de su ubicación en el espacio-tiempo (es decir, no solo en el tiempo), esta operación de ordenación del tiempo solo es independiente de las coordenadas si los operadores en puntos separados en forma de espacio conmutan . Por eso es necesario utilizar en vez de , desde generalmente indica el índice similar al tiempo dependiente de las coordenadas del punto del espacio-tiempo. Tenga en cuenta que el orden de tiempo generalmente se escribe con el argumento de tiempo aumentando de derecha a izquierda.
En general, para el producto de n operadores de campo A 1 ( t 1 ),…, A n ( t n ), el producto ordenado en el tiempo de los operadores se define de la siguiente manera:
donde la suma corre sobre p ' sy sobre el grupo simétrico de permutaciones de n grados y
La matriz S en la teoría cuántica de campos es un ejemplo de un producto ordenado en el tiempo. La matriz S, que transforma el estado en t = −∞ a un estado en t = + ∞ , también se puede considerar como una especie de " holonomía ", análoga al bucle de Wilson . Obtenemos una expresión ordenada en el tiempo por la siguiente razón:
Comenzamos con esta fórmula simple para la exponencial
Ahora considere el operador de evolución discretizado
dónde es el operador de evolución en un intervalo de tiempo infinitesimal . Los términos de orden superior pueden despreciarse en el límite. El operador es definido por
Tenga en cuenta que los operadores de evolución sobre los intervalos de tiempo "pasados" aparecen en el lado derecho del producto. Vemos que la fórmula es análoga a la identidad anterior satisfecha por el exponencial, y podemos escribir
La única sutileza que tuvimos que incluir fue el operador de pedido de tiempo. porque los factores en el producto que definen S anterior también estaban ordenados por tiempo (y los operadores no se desplazan en general) y el operador asegura que se conservará este orden.
Ver también
- Exponencial ordenado (esencialmente el mismo concepto)
- Teoría del calibre
- Matriz S
Referencias
- ^ Steven Weinberg , La teoría cuántica de los campos , vol. 3, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55001-7 , pág. 143.