La exponencial ordenada , también llamada exponencial ordenada por trayectoria , es una operación matemática definida en álgebras no conmutativas , equivalente al exponencial de la integral en las álgebras conmutativas . En la práctica, el exponencial ordenado se utiliza en álgebras de matrices y operadores .
Sea A un álgebra sobre un campo real o complejo K , y a ( t ) un elemento parametrizado de A ,
El parámetro t en a ( t ) a menudo se denomina parámetro de tiempo en este contexto.
El exponencial ordenado de a se denota
donde el término n = 0 es igual a 1 y dondees una operación de orden superior que asegura que la exponencial esté ordenada en el tiempo : cualquier producto de a ( t ) que ocurra en la expansión de la exponencial debe ordenarse de manera que el valor de t aumente de derecha a izquierda del producto; un ejemplo esquemático:
Esta restricción es necesaria ya que los productos en el álgebra no son necesariamente conmutativos.
La operación mapea un elemento parametrizado sobre otro elemento parametrizado, o simbólicamente,
Hay varias formas de definir esta integral de manera más rigurosa.
Producto de exponenciales
El exponencial ordenado se puede definir como el producto integral de la izquierda de los exponenciales infinitesimales , o de manera equivalente, como un producto ordenado de exponenciales en el límite a medida que el número de términos crece hasta el infinito:
donde los momentos de tiempo { t 0 , ..., t N } se definen como t i ≡ i Δ t para i = 0, ..., N , y Δ t ≡ t / N .
El exponencial ordenado es de hecho una integral geométrica . [1] [2] [3]
Solución de una ecuación diferencial
El exponencial ordenado es una solución única del problema del valor inicial :
Solución de una ecuación integral
El exponencial ordenado es la solución de la ecuación integral :
Esta ecuación es equivalente al problema de valor inicial anterior.
Expansión de la serie infinita
El exponencial ordenado se puede definir como una suma infinita,
Esto se puede derivar sustituyendo recursivamente la ecuación integral en sí misma.
Dado un colector donde para un con transformación grupal se sostiene en un punto :
Aquí, denota diferenciación exterior y es el operador de conexión (campo de 1 formulario) actuando sobre . Al integrar la ecuación anterior, se mantiene (ahora, es el operador de conexión expresado en una base de coordenadas)
con el operador de orden de ruta que ordena los factores en orden del camino . Para el caso especial quees un operador antisimétrico y es un rectángulo infinitesimal con longitudes de borde y esquinas en puntos La expresión anterior se simplifica de la siguiente manera:
Por lo tanto, tiene la identidad de transformación grupal. . Si es una conexión suave, que se expande por encima de la cantidad al segundo orden en cantidades infinitesimales se obtiene para el exponencial ordenado la identidad con un término de corrección que es proporcional al tensor de curvatura .