En física , un superoperador es un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial de operadores lineales . [1]
A veces el término se refiere más especialmente a un mapa completamente positivo que conserva o no aumenta la traza de su argumento . Este significado especializado se usa ampliamente en el campo de la computación cuántica , especialmente la programación cuántica , ya que caracterizan los mapeos entre matrices de densidad .
El uso del superprefijo aquí no está relacionado de ninguna manera con su otro uso en física matemática. Es decir, los superoperadores no tienen conexión con la supersimetría y la superalgebra, que son extensiones de los conceptos matemáticos habituales definidos al extender el anillo de números para incluir los números de Grassmann . Dado que los superoperadores son en sí mismos operadores, el uso del superprefijo se utiliza para distinguirlos de los operadores sobre los que actúan.
Multiplicación izquierda / derecha
Definiendo los superoperadores de multiplicación izquierdo y derecho por y respectivamente, se puede expresar el conmutador como
A continuación, vectorizamos la matriz cual es el mapeo
La representación matricial de luego se calcula utilizando el mismo mapeo
Indicando que . Del mismo modo, se puede demostrar que. Estas representaciones nos permiten calcular cosas como valores propios asociados a superoperadores. Estos valores propios son particularmente útiles en el campo de los sistemas cuánticos abiertos, donde las partes reales de los valores propios del superoperador de Lindblad indicarán si un sistema cuántico se relajará o no.
Ejemplo de ecuación de von Neumann
En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger , expresa la evolución temporal del vector de estado por la acción del hamiltoniano que es un operador que asigna vectores de estado a vectores de estado.
En la formulación más general de John von Neumann , los estados y conjuntos estadísticos se expresan mediante operadores de densidad en lugar de vectores de estado. En este contexto, la evolución temporal del operador de densidad se expresa mediante la ecuación de von Neumann en la que un superoperador actúa sobre el operador de densidad . mapeo de operadores a operadores. Se define tomando el conmutador con respecto al operador hamiltoniano:
dónde
Como los corchetes de conmutador se utilizan ampliamente en QM, esta presentación explícita de superoperador de la acción del hamiltoniano generalmente se omite.
Ejemplo de derivadas de funciones en el espacio de operadores
Al considerar una función de operadores valorada por el operador como por ejemplo cuando definimos el hamiltoniano mecánico cuántico de una partícula como una función de los operadores de posición y momento, podemos (por cualquier razón) definir un "Operador Derivado" como un superoperador mapeando un operador a un operador.
Por ejemplo, si entonces su derivado de operador es el superoperador definido por:
Este "operador derivado" es simplemente la matriz jacobiana de la función (de operadores) donde uno simplemente trata la entrada y salida del operador como vectores y expande el espacio de operadores de alguna manera. La matriz jacobiana es entonces un operador (en un nivel superior de abstracción) que actúa sobre ese espacio vectorial (de operadores).
Ver también
Referencias
- ^ John Preskill , notas de la conferencia para el curso de computación cuántica en Caltech , cap. 3 , [1]