Métrica de tetas
En matemáticas , la métrica de Tits es una métrica definida en el límite ideal de un espacio de Hadamard (también llamado espacio CAT(0) completo ). Lleva el nombre de Jacques Tetas .
Sea ( X , d ) un espacio de Hadamard. Dos rayos geodésicos c 1 , c 2 : [0, ∞] → X se llaman asintóticos si se mantienen dentro de una cierta distancia cuando viajan, es decir
La propiedad asintótica define una relación de equivalencia sobre el conjunto de rayos geodésicos, y el conjunto de clases de equivalencia se denomina frontera ideal ∂ X de X . Una clase de equivalencia de rayos geodésicos se denomina punto límite de X . Para cualquier clase de equivalencia de rayos y cualquier punto p en X , hay un único rayo en la clase que sale de p .
Primero definimos un ángulo entre los puntos límite con respecto a un punto p en X. Para cualesquiera dos puntos límite en ∂ X , tome los dos rayos geodésicos c 1 , c 2 que salen de p correspondientes a los dos puntos límite respectivamente. Uno puede definir un ángulo de los dos rayos en p llamado el ángulo de Alexandrov . Intuitivamente, tome el triángulo con vértices p , c 1 ( t ), c 2 ( t ) para una pequeña t, y construya un triángulo en el plano con las mismas longitudes de lado que este triángulo. Considere el ángulo en el vértice del triángulo plano correspondiente a p . El límite de este ángulo cuando t tiende a cero se define como el ángulo de Alexandrov de los dos rayos en p . (Por definición de un espacio CAT(0), el ángulo disminuye monótonamente a medida que t disminuye, por lo que el límite existe). Ahora definimos que este ángulo es este.
Para definir la métrica angular en el límite ∂ X que no depende de la elección de p , tomamos el supremo sobre todos los puntos en X
La métrica de Tits d T es la métrica de longitud asociada a la métrica angular, es decir, para dos puntos límite cualesquiera, la distancia entre ellos es el mínimo de las longitudes de todas las curvas en el límite que los conectan medidas en la métrica angular. Si no existe tal curva con longitud finita, la distancia entre los dos puntos se define como infinita.