Espacio CAT (k)

En matemáticas , un espacio , donde hay un número real, es un tipo específico de espacio métrico . Intuitivamente, los triángulos en un espacio son "más delgados" que los correspondientes "triángulos modelo" en un espacio estándar de curvatura constante . En un espacio, la curvatura está delimitada desde arriba por . Un caso especial notable es ; los espacios completos se conocen como " espacios de Hadamard " en honor al matemático francés Jacques Hadamard .${\ Displaystyle \ mathbf {\ operatorname {\ textbf {CAT}} (k)}}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k = 0}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {CAT} (0)}$

Originalmente, Aleksandrov llamó a estos espacios " dominio". La terminología fue acuñada por Mikhail Gromov en 1987 y es un acrónimo de Élie Cartan , Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Victor Andreevich Toponogov (aunque Toponogov nunca exploró la curvatura delimitada anteriormente en las publicaciones).${\ Displaystyle {\ mathfrak {R}} _ {k}}$${\ Displaystyle \ operatorname {CAT} (k)}$

Para un número real , denotemos la única superficie completa simplemente conectada ( variedad real de Riemannian bidimensional ) con curvatura constante . Denotar por el diámetro de , que es si y para .${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle M_ {k}}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle D_ {k}}$${\ Displaystyle M_ {k}}$${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle k \ leq 0}$${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sqrt {k}}}}$${\ Displaystyle k> 0}$

Sea un espacio métrico geodésico , es decir, un espacio métrico para el cual cada dos puntos pueden estar unidos por un segmento geodésico, una curva continua parametrizada de longitud de arco , cuya longitud${\ Displaystyle (X, d)}$${\ Displaystyle x, y \ en X}$ ${\ Displaystyle \ gamma \ colon [a, b] \ a X, \ \ gamma (a) = x, \ \ gamma (b) = y}$

Modele triángulos en espacios de curvatura positiva (superior), negativa (media) y cero (inferior).

La mediana en el triángulo de comparación siempre es más larga que la mediana real.