En álgebras de operadores , el álgebra de Toeplitz es el álgebra C * generada por el desplazamiento unilateral en el espacio de Hilbert l 2 ( N ) . [1] Tomando l 2 ( N ) como el espacio de Hardy H 2 , el álgebra de Toeplitz consta de elementos de la forma
Los operadores Toeplitz con símbolos continuos conmutan módulo los operadores compactos. Por tanto, el álgebra de Toeplitz puede verse como la extensión del álgebra C * de las funciones continuas en el círculo por parte de los operadores compactos. Esta extensión se llama extensión Toeplitz .
Según el teorema de Atkinson , un elemento del álgebra de Toeplitz T f + K es un operador de Fredholm si y solo si el símbolo f de T f es invertible. En ese caso, el índice de Fredholm de T f + K es precisamente el número de bobinado de f , la clase de equivalencia de f en el grupo fundamental del círculo. Este es un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer .
La descomposición de Wold caracteriza las isometrías adecuadas que actúan sobre un espacio de Hilbert. A partir de esto, junto con las propiedades de los operadores de Toeplitz, se puede concluir que el álgebra de Toeplitz es el álgebra C * universal generada por una isometría adecuada; este es el teorema de Coburn .