En la teoría de operadores , el teorema de Atkinson (llamado así por Frederick Valentine Atkinson ) proporciona una caracterización de los operadores de Fredholm .
Deje H sea un espacio de Hilbert y L ( H ) el conjunto de los operadores limitado en H . La siguiente es la definición clásica de un operador de Fredholm : se dice que un operador T ∈ L ( H ) es un operador de Fredholm si el kernel Ker ( T ) es de dimensión finita, Ker ( T * ) es de dimensión finita (donde T * denota el adjunto de T ), y el rango Ran ( T ) está cerrado.
En otras palabras, un operador T ∈ L ( H ) es Fredholm, en el sentido clásico, si y solo si su proyección en el álgebra de Calkin es invertible.
La restricción T : Ker ( T ) ⊥ → Ran ( T ) es una biyección y, por lo tanto, es invertible por el teorema de mapeo abierto . Extienda esta inversa en 0 en Ran ( T ) ⊥ = Ker ( T * ) a un operador S definido en todo H. Entonces I - TS es la proyección de rango finito sobre Ker ( T * ), e I - ST es la proyección sobre Ker ( T ). Esto prueba la única parte del teorema.
Por el contrario, suponga ahora que ST = I + C 2 para algún operador compacto C 2 . Si x ∈ Ker ( T ), entonces STx = x + C 2 x = 0. Entonces Ker ( T ) está contenido en un espacio propio de C 2 , que es de dimensión finita (ver teoría espectral de operadores compactos ). Por lo tanto, Ker ( T ) también es de dimensión finita. El mismo argumento muestra que Ker ( T * ) también es de dimensión finita.
Para demostrar que Ran ( T ) es cerrado, utilizamos la propiedad de aproximación : sea F un operador de rango finito tal que || F - C 2 || < r . Entonces, para cada x en Ker ( F ),