En matemáticas , y en particular análisis funcional , el operador de desplazamiento también conocido como operador de traducción es un operador que toma una función x ↦ f ( x ) a su traducción x ↦ f ( x + a ) . [1] En el análisis de series de tiempo , el operador de turno se denomina operador de retraso .
Los operadores de turno son ejemplos de operadores lineales , importantes por su simplicidad y ocurrencia natural. La acción del operador de cambio en funciones de una variable real juega un papel importante en el análisis armónico , por ejemplo, aparece en las definiciones de funciones casi periódicas , funciones definidas positivas y convolución . [2] Los desplazamientos de secuencias (funciones de una variable entera) aparecen en diversas áreas como los espacios de Hardy , la teoría de las variedades abelianas y la teoría de la dinámica simbólica , de la que el mapa del panadero es una representación explícita.
Definición
Funciones de una variable real
El operador de cambio T t (donde t ∈ R ) toma una función f en R a su traslación f t ,
Lagrange introdujo una representación práctica de cálculo operacional del operador lineal T t en términos de la derivada simple d ⁄ dx ,
que puede interpretarse operativamente a través de su expansión formal de Taylor en t ; y cuya acción sobre el monomio x n es evidente por el teorema del binomio , y por lo tanto sobre todas las series en x , y así todas las funciones f ( x ) como antes. [3] Esto, entonces, es una codificación formal de la expansión de Taylor en el cálculo de Heaviside.
Por tanto, el operador proporciona el prototipo [4] del célebre flujo advectivo de Lie para grupos abelianos ,
donde las coordenadas canónicas h ( funciones de Abel ) se definen de manera que
Por ejemplo, se sigue fácilmente que produce escalado,
por eso (paridad); igualmente,rinde [5]
rendimientos
rendimientos
etc.
La condición inicial del flujo y la propiedad del grupo determinan completamente todo el flujo de Lie, proporcionando una solución a la ecuación funcional de traslación [6]
Secuencias
El operador de cambio a la izquierda actúa sobre una secuencia infinita de números unilateral por
y en secuencias infinitas de dos caras por
El operador de cambio a la derecha actúa sobre una secuencia infinita unilateral de números por
y en secuencias infinitas de dos caras por
Los operadores de desplazamiento a derecha e izquierda que actúan sobre secuencias infinitas de dos lados se denominan desplazamientos bilaterales .
Grupos abelianos
En general, como se ilustra arriba, si F es una función en un grupo abeliano G , yh es un elemento de G , el operador de desplazamiento T g asigna F a [6] [7]
Propiedades del operador de turno
El operador de turno que actúa sobre funciones o secuencias de valores reales o complejos es un operador lineal que conserva la mayoría de las normas estándar que aparecen en el análisis funcional. Por tanto, suele ser un operador continuo con norma uno.
Acción en los espacios de Hilbert
El operador de turno que actúa en secuencias de dos lados es un operador unitario en ℓ 2 ( Z ) . El operador de turno que actúa sobre funciones de una variable real es un operador unitario en L 2 ( R ) .
En ambos casos, el operador de desplazamiento (izquierda) satisface la siguiente relación de conmutación con la transformada de Fourier:
donde M t es el operador de multiplicación por exp (i t x ) . Por lo tanto, el espectro de T t es el círculo unitario.
El desplazamiento unilateral S que actúa sobre ℓ 2 ( N ) es una isometría propia con un rango igual a todos los vectores que desaparecen en la primera coordenada . El operador S es una compresión de T −1 , en el sentido de que
donde y es el vector en ℓ 2 ( Z ) con y i = x i para i ≥ 0 y y i = 0 para i <0 . Esta observación está en el corazón de la construcción de muchas dilataciones unitarias de isometrías.
El espectro de S es el disco unitario. El turno S es un ejemplo de un operador de Fredholm ; tiene el índice de Fredholm -1.
Generalización
Jean Delsarte introdujo la noción de operador de turno generalizado (también llamado operador de desplazamiento generalizado ); Boris Levitan lo desarrolló aún más . [2] [8] [9]
Una familia de operadores { L x } x ∈ X que actúan sobre un espacio Φ de funciones de un conjunto X a C se denomina familia de operadores de turno generalizados si se cumplen las siguientes propiedades:
- Asociatividad: sea ( R y f ) ( x ) = ( L x f ) ( y ) . Entonces L x R y = R y L x .
- Existe e en X tal que L e es el operador de identidad.
En este caso, el conjunto X se denomina hipergrupo .
Ver también
- Desplazamiento aritmético
- Cambio lógico
- Diferencia finita
Notas
- ^ Weisstein, Eric W. "Operador de turno" . MathWorld .
- ^ a b Marchenko, VA (2006). "El desplazamiento generalizado, operadores de transformación y problemas inversos". Acontecimientos matemáticos del siglo XX . Berlín: Springer. págs. 145-162. doi : 10.1007 / 3-540-29462-7_8 . Señor 2182783 .
- ↑ Jordan, Charles (1939/1965). Cálculo de diferencias finitas , (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 .
- ^ M Hamermesh (1989), Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, en línea .
- ↑ p 75 de Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen , Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 en línea
- ↑ a b Aczel, J (2006), Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones (Dover Books on Mathematics, 2006), Cap. 6, ISBN 978-0486445236 .
- ^ "Un grupo continuo de un parámetro es equivalente a un grupo de traducciones". M Hamermesh, ibíd .
- ^ Levitan, BM ; Litvinov, GL (2001) [1994], "Operadores de desplazamiento generalizados" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Bredikhina, EA (2001) [1994], "Función casi periódica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
Bibliografía
- Partington, Jonathan R. (15 de marzo de 2004). Operadores lineales y sistemas lineales . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi : 10.1017 / cbo9780511616693 . ISBN 978-0-521-83734-7.
- Marvin Rosenblum y James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory , (1985) Oxford University Press.