Operador Toeplitz

En la teoría del operador , un operador de Toeplitz es la compresión de un operador de multiplicación en el círculo al espacio de Hardy .

Sea S ¹ el círculo, con la medida estándar de Lebesgue, y L ² ( S ¹ ) el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado. Una función medible acotada g en S ¹ define un operador de multiplicación M _g en L ² ( S ¹ ). Sea P la proyección de L ² ( S ¹ ) sobre el espacio Hardy H ² . El operador de Toeplitz con símbolo g se define por

Un operador acotado en H ² es Toeplitz si y solo si su representación matricial, en la base { z ⁿ , n ≥ 0}, tiene diagonales constantes.

Para una prueba, vea Douglas (1972 , p.185). Atribuye el teorema a Mark Kerin , Harold Widom y Allen Devinatz. Esto puede considerarse un caso especial importante del teorema del índice de Atiyah-Singer .

Aquí, denota la subálgebra cerrada de funciones analíticas (funciones con coeficientes de Fourier negativos que desaparecen), es la subálgebra cerrada de generada por y , y son las funciones continuas en el círculo. Ver S. Axler, SY. Chang, D. Sarason (1978) ${\ Displaystyle H ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (S ^ {1})}$ ${\ Displaystyle H ^ {\ infty} [f]}$ ${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (S ^ {1})}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle H ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle C}$