En la teoría de operadores , un operador de multiplicación es un operador T f definido en algún espacio vectorial de funciones y cuyo valor en una función φ viene dado por la multiplicación por una función fija f . Es decir,
para todo φ en el dominio de T f , y todo x en el dominio de φ (que es lo mismo que el dominio de f ).
Este tipo de operadores a menudo se contrasta con los operadores de composición . Los operadores de multiplicación generalizan la noción de operador dada por una matriz diagonal . Más precisamente, uno de los resultados de la teoría del operador es un teorema espectral , que establece que cada operador autoadjunto en un espacio de Hilbert es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación en un espacio L 2 .
Ejemplo
Considere el espacio de Hilbert X = L 2 [-1, 3] de complejos -valued integrables cuadrados funciones en el intervalo [-1, 3] . Con f ( x ) = x 2 , defina el operador
para cualquier función φ en X . Este será un operador lineal acotado autoadjunto , con dominio todo de X = L 2 [−1, 3] con norma 9 . Su espectro será el intervalo [0, 9] (el rango de la función x → x 2 definido en [−1, 3]) . De hecho, para cualquier número complejo λ , el operador T f - λ viene dado por
Es invertible si y solo si λ no está en [0, 9] , y entonces su inverso es
que es otro operador de multiplicación.
Esto se puede generalizar fácilmente para caracterizar la norma y el espectro de un operador de multiplicación en cualquier espacio Lp .
Ver también
Notas
Referencias
- Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.