Topos
En matemáticas , un topos ( Reino Unido : / t ɒ p ɒ s / , Estados Unidos : / t oʊ p oʊ s , t oʊ p ɒ s / ; plural topoi / t oʊ p ɔɪ / o / t ɒ p ɔɪ / , o topos ) es una categoríaque se comporta como la categoría de haces de conjuntos en un espacio topológico (o más generalmente: en un sitio ). Topoi se comporta de manera muy similar a la categoría de conjuntos y posee una noción de localización; son una generalización directa de la topología de conjuntos de puntos . [1] Los topoi de Grothendieck encuentran aplicaciones en geometría algebraica ; los topoi elementales más generales se utilizan en lógica .
Desde la introducción de las gavillas en las matemáticas en la década de 1940, un tema principal ha sido estudiar un espacio mediante el estudio de las gavillas en un espacio. Esta idea fue expuesta por Alexander Grothendieck al introducir la noción de "topos". La principal utilidad de esta noción radica en la abundancia de situaciones en matemáticas donde las heurísticas topológicas son muy efectivas, pero falta un espacio topológico honesto; a veces es posible encontrar un topos que formalice la heurística. Un ejemplo importante de esta idea programática es el étale topos de un esquema. Otra ilustración de la capacidad de Grothendieck para encarnar la “esencia” de diferentes situaciones matemáticas viene dada por su uso como puentes para conectar teorías que, aunque escritas en lenguajes posiblemente muy diferentes, comparten un contenido matemático común. [2] [3]
Un topos de Grothendieck es una categoría C que satisface cualquiera de las tres propiedades siguientes. (Un teorema de Jean Giraud establece que las propiedades siguientes son todas equivalentes).
Aquí Presh ( D ) denota la categoría de functores contravariantes de D a la categoría de conjuntos; un funtor contravariante de este tipo se denomina con frecuencia pregajo .
El último axioma necesita la mayor explicación. Si X es un objeto de C , una "relación de equivalencia" R sobre X es un mapa R → X × X en C tal que para cualquier objeto Y en C , el mapa inducido Hom ( Y , R ) → Hom ( Y , X ) × Hom ( Y , X ) da una relación de equivalencia ordinaria en el conjunto Hom ( Y , X ). Dado que C tiene colímites podemos formar el coecualizadorde los dos mapas R → X ; llamar a este X / R . La relación de equivalencia es "efectiva" si el mapa canónico
El teorema de Giraud ya da "haces en sitios" como una lista completa de ejemplos. Sin embargo, tenga en cuenta que los sitios no equivalentes a menudo dan lugar a topoi equivalentes. Como se indicó en la introducción, las gavillas en los espacios topológicos ordinarios motivan muchas de las definiciones básicas y los resultados de la teoría topos.
