Preheaf (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una gavilla previa en una categoría es un funtor . Si es el conjunto de conjuntos abiertos en un espacio topológico , interpretado como una categoría, entonces se recupera la noción habitual de pregajo en un espacio topológico.${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle C}$

Un morfismo de prehecho se define como una transformación natural de los functores. Esto convierte la recopilación de todos los prefabricados en una categoría y es un ejemplo de una categoría de functor . A menudo se escribe como . Un functor en a veces se llama profunctor .${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle {\widehat {C}}}$

Una gavilla que es naturalmente isomórfica al hom-functor contravariante Hom (-, A ) para algún objeto A de C se llama una gavilla representable .

Algunos autores se refieren a un funtor como una pregama valorada . ^[1]${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$

Ejemplos

• Un conjunto simplicial es un conjunto -valued prehaz en la categoría de simple .${\displaystyle C=\Delta }$

Propiedades

• Cuando es una categoría pequeña , la categoría de functor es cerrada cartesiana .${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$
• El conjunto parcialmente ordenado de subobjetos de forma un álgebra de Heyting , siempre que sea ​​un objeto de por pequeño .${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle C}$
• Para cualquier morfismo de , el funtor retirada de subobjetos tiene un adjunto derecho, denotado , y un adjunto izquierdo, . Estos son los cuantificadores universales y existenciales.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)}$${\displaystyle \forall _{f}}$${\displaystyle \exists _{f}}$
• Una categoría localmente pequeña se incrusta plena y fielmente en la categoría de pre-ondas valoradas por conjuntos a través de la incrustación de Yoneda, que a cada objeto de los asociados asocia el functor hom .${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C(-,A)}$
• La categoría admite pequeños límites y pequeños colimits. ^[2] Ver límite y colimit de pre - despegue para mayor discusión.${\displaystyle {\widehat {C}}}$
• El teorema de la densidad establece que cada pregañado es un colímite de prehojas representables; de hecho, es la finalización colimita de (consulte la propiedad #Universal a continuación).${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle C}$

Propiedad universal

La construcción se denomina finalización colimita de C debido a la siguiente propiedad universal:${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

Proposición ^[3]  -  Sean C , D categorías y suponga que D admite pequeños colimits. Luego, cada funtor factoriza como${\displaystyle \eta :C\to D}$

${\displaystyle C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D}$

donde y es la incrustación de Yoneda y es un funtor preservador de colímites, único hasta el isomorfismo, llamado extensión Yoneda de .${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$${\displaystyle \eta }$

Prueba : Dado un prehaz F , por el teorema de densidad , podemos escribir donde están los objetos en C . Entonces, dejemos lo que existe por suposición. Dado que es functorial, esto determina el functor . En resumen, es la extensión Kan izquierda de a lo largo de y ; de ahí el nombre "extensión Yoneda". Para ver los desplazamientos con colimits pequeños, mostramos es un adjunto a la izquierda (a algún functor). Definir como el functor dado por: para cada objeto M en D y cada objeto U en C ,${\displaystyle F=\varinjlim yU_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U_{i},}$${\displaystyle \varinjlim -}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).}$

Entonces, para cada objeto M en D , ya que por el lema de Yoneda, tenemos:${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M)),\end{aligned}}}$

es decir, es un adjunto a la izquierda de .${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)}$${\displaystyle \square }$

La proposición arroja varios corolarios. Por ejemplo, la proposición implica que la construcción es functorial: es decir, cada funtor determina el funtor .${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}}$${\displaystyle C\to D}$${\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}}$

Variantes

Un haz de espacios en una categoría ∞ C es un funtor contravariante de C a la categoría ∞ de espacios (por ejemplo, el nervio de la categoría de complejos CW ). ^[4] Es una versión de categoría ∞ de un pregajo de conjuntos, ya que un "conjunto" se sustituye por un "espacio". La noción se usa, entre otras cosas, en la formulación de la categoría ∞ del lema de Yoneda que dice: es completamente fiel (aquí C puede ser solo un conjunto simple ) ^[5].${\displaystyle C\to PShv(C)}$

Ver también

• Topos
• Categoría de elementos
• Pregavilla simple (esta noción se obtiene reemplazando "conjunto" por "conjunto simplicial")
• Preheaf con transferencias

Notas

1. lema co-Yoneda en nLab
2. Kashiwara y Schapira 2005 , Corolario 2.4.3.
3. Kashiwara y Schapira 2005 , Proposición 2.7.1.
4. Lurie , definición 1.2.16.1.
5. Lurie , Proposición 5.1.3.1.

Referencias

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2005). Categorías y gavillas . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 332 . Saltador. ISBN 978-3-540-27950-1.
• Lurie, J. Teoría de Topos superior .
• Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992). Gavillas en Geometría y Lógica . Saltador. ISBN 0-387-97710-4.

Lectura adicional

• Preheaf en nLab
• Cocompletado gratuito en nLab
• Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory , el archivo pdf proporcionado por nlab.