En matemáticas , formas modulares topológicas (tmf) es el nombre de un espectro que describe una teoría de cohomología generalizada . En términos concretos, para cualquier número entero n hay un espacio topológico, y estos espacios están equipados con ciertos mapas entre ellos, de modo que para cualquier espacio topológico X , se obtiene una estructura de grupo abeliano en el conjuntode clases de homotopía de mapas continuos de X a. Una característica que distingue a tmf es el hecho de que su anillo de coeficientes ,(punto), es casi lo mismo que el anillo escalonado de formas modulares holomorfas con expansiones de cúspides integrales . De hecho, estos dos anillos se vuelven isomorfos después de invertir los primos 2 y 3, pero esta inversión borra mucha información de torsión en el anillo de coeficientes.
El espectro de formas modulares topológicas se construye como las secciones globales de un haz de espectros de anillo E-infinito en la pila de módulos de curvas elípticas (generalizadas) . Esta teoría tiene relaciones con la teoría de las formas modulares en la teoría de números , los grupos de homotopía de esferas y las teorías de índices conjeturales sobre espacios de bucles de variedades . tmf fue construido por primera vez por Michael Hopkins y Haynes Miller ; muchos de los cálculos se pueden encontrar en preprints y artículos de Paul Goerss , Hopkins, Mark Mahowald , Miller, Charles Rezk y Tilman Bauer.
Construcción
La construcción original de tmf utiliza la teoría de la obstrucción de Hopkins , Miller y Paul Goerss, y se basa en ideas de Dwyer, Kan y Stover. En este enfoque, se define una parte superior O anterior ("top" significa topológico ) de teorías de cohomología multiplicativa en el sitio etale de la pila de módulos de curvas elípticas y muestra que esto puede elevarse de una manera esencialmente única a una faja de E -espectros de anillo infinito. Esta gavilla tiene la siguiente propiedad: a cualquier curva elíptica de etale sobre un anillo R, le asigna un espectro de anillo infinito E (una teoría de cohomología elíptica clásica ) cuyo grupo formal asociado es el grupo formal de esa curva elíptica.
Una segunda construcción, debida a Jacob Lurie , construye tmf más bien describiendo el problema de módulos que representa y aplicando la teoría de la representabilidad general para luego mostrar la existencia: así como la pila de módulos de curvas elípticas representa el functor que asigna a un anillo la categoría de curvas elípticas. sobre él, la pila junto con el haz de espectros de anillo E-infinito representa el funtor que asigna a un anillo E-infinito su categoría de curvas elípticas derivadas orientadas, interpretadas apropiadamente. Estas construcciones funcionan sobre la pila de módulos de curvas elípticas suaves , y también funcionan para la compactación de Deligne-Mumford de esta pila de módulos, en la que se incluyen curvas elípticas con singularidades nodales. TMF es el espectro que resulta de las secciones globales sobre la pila de módulos de curvas suaves, y tmf es el espectro que surge como las secciones globales de la compactación de Deligne-Mumford .
TMF es una versión periódica del tmf conectivo. Mientras que los espectros de anillo usados para construir TMF son periódicos con el período 2, el TMF en sí mismo tiene el período 576. La periodicidad está relacionada con el discriminante modular .
Relaciones con otras partes de las matemáticas
Cierto interés en tmf proviene de la teoría de cuerdas y la teoría de campos conforme . Graeme Segal propuso por primera vez en la década de 1980 proporcionar una construcción geométrica de la cohomología elíptica (el precursor de tmf) como una especie de espacio de módulos de teorías de campo conformes, y estas ideas han sido continuadas y ampliadas por Stephan Stolz y Peter Teichner. Su programa es intentar construir TMF como un espacio de módulos de teorías de campo euclidianas supersimétricas .
En un trabajo más directamente motivado por la teoría de cuerdas, Edward Witten introdujo el género Witten , un homomorfismo del anillo de bordismo de cuerda al anillo de formas modulares, utilizando la teoría del índice equivariante en una vecindad formal del locus trivial en el espacio de bucle de una variedad. Esto se asocia a cualquier variedad de giro con la mitad de la desaparición de la primera clase Pontryagin una forma modular. Gracias al trabajo de Hopkins, Matthew Ando, Charles Rezk y Neil Strickland, el género Witten puede elevarse a la topología. Es decir, existe un mapa desde el espectro de bordismo de cuerdas hasta tmf (una denominada orientación ) tal que el género Witten se recupera como la composición del mapa inducido sobre los grupos de homotopía de estos espectros y un mapa de los grupos de homotopía de tmf a formas modulares. Esto permitió probar ciertas declaraciones de divisibilidad sobre el género Witten. La orientación de tmf está en analogía con el mapa de Atiyah-Bott-Shapiro desde el espectro de bordismo de espín hasta la teoría K clásica , que es una elevación de la ecuación de Dirac a la topología.
Referencias
- Bauer, Tilman (2008). "Cálculo de la homotopía del espectro \ texttt {TMF}". Grupos, homotopía y espacios de configuración (Tokio 2005) . Monografías de Geometría y Topología. 13 . págs. 11–40. arXiv : matemáticas.AT / 0311328 . doi : 10.2140 / gtm.2008.13.11 . S2CID 1396008 .
- Behrens, M., Notas sobre la construcción de tmf (2007), http://www-math.mit.edu/~mbehrens/papers/buildTMF.pdf
- Douglas, Christopher L .; Francis, John; Henriques, André G .; et al., eds. (2014). Formas modulares topológicas . Encuestas y Monografías Matemáticas. 201 . ISBN de AMS 978-1-4704-1884-7.
- Goerss, P. y Hopkins, M., Moduli Spaces of Conmutative Ring Spectra, http://www.math.northwestern.edu/~pgoerss/papers/sum.pdf
- Hopkins, Michael J. (2002). "Topología algebraica y formas modulares". arXiv : matemáticas.AT / 0212397 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - Hopkins, M y Mahowald, M., De las curvas elípticas a la teoría de la homotopía (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf
- Lurie, J, Una encuesta de cohomología elíptica (2007), http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/survey.pdf
- Rezk, C., http://www.math.uiuc.edu/~rezk/512-spr2001-notes.pdf
- Stolz, S. y Teichner, P., Teorías de campo euclidiano supersimétrico y cohomología generalizada (2008), http://math.berkeley.edu/~teichner/Papers/Survey.pdf