En matemáticas , la cohomología elíptica es una teoría de cohomología en el sentido de topología algebraica . Está relacionado con curvas elípticas y formas modulares .
Historia y motivación
Históricamente, la cohomología elíptica surgió del estudio de los géneros elípticos . Atiyah e Hirzebruch sabían que siactúa de manera suave y no trivial en un colector de giro, luego el índice del operador de Dirac desaparece. En 1983, Witten conjeturó que en esta situación el índice equivariante de cierto operador de Dirac retorcido es al menos constante. Esto condujo a otros problemas relacionados con-acciones sobre variedades, que Ochanine podría resolver mediante la introducción de géneros elípticos. A su vez, Witten los relacionó con la teoría de índices (conjeturales) en espacios de bucle libre . La cohomología elíptica, inventada en su forma original por Landweber, Stong y Ravenel a fines de la década de 1980, se introdujo para aclarar ciertos problemas con los géneros elípticos y proporcionar un contexto para la teoría de índices (conjeturales) de familias de operadores diferenciales en espacios de bucle libre. En cierto sentido, puede verse como una aproximación a la teoría K del espacio de bucle libre.
Definiciones y construcciones
Llamar a una teoría de cohomología incluso periódico si para mi impar y hay un elemento invertible . Estas teorías poseen una orientación compleja , lo que le confiere una ley de grupo formal . Una fuente particularmente rica de leyes de grupo formales son las curvas elípticas . Una teoría de la cohomología con
se llama elíptica si es incluso periódica y su ley de grupo formal es isomórfica a una ley de grupo formal de una curva elíptica encima . La construcción habitual de tales teorías de cohomología elíptica utiliza el teorema del functor exacto de Landweber . Si la ley de grupo formal de es Landweber exacta, se puede definir una teoría de cohomología elíptica (en complejos finitos) por
Franke ha identificado la condición necesaria para cumplir con la exactitud de Landweber:
- necesita ser plano
- No hay componente irreductible de , donde la fibra es supersingular para cada
Estas condiciones se pueden comprobar en muchos casos relacionados con géneros elípticos. Además, las condiciones se cumplen en el caso universal en el sentido de que el mapa de la pila de módulos de curvas elípticas a la pila de módulos de grupos formales
es plano . Esto da entonces un prefacio de teorías de cohomología.
sobre el sitio de esquemas afines planos sobre la pila de módulos de curvas elípticas. El deseo de obtener una teoría de la cohomología elíptica universal tomando secciones globales ha llevado a la construcción de las formas modulares topológicas [1] pág. 20
como el límite de homotopía de esta pregavilla sobre el sitio anterior.
Ver también
Referencias
- ↑ Goerss, Paul G. (8 de mayo de 2009). "Realización de familias de teorías de homología exacta de Landweber". arXiv : 0905.1319 [ matemáticas.AT ].
- Franke, Jens (1992), "Sobre la construcción de la cohomología elíptica", Mathematische Nachrichten , 158 (1): 43–65, doi : 10.1002 / mana.19921580104.
- Landweber, Peter S. (1988), "Géneros elípticos: Una descripción general introductoria", en Landweber, PS (ed.), Curvas elípticas y formas modulares en topología algebraica , Lecture Notes in Mathematics, 1326 , Berlín: Springer, págs. 1 –10, ISBN 3-540-19490-8.
- Landweber, Peter S. (1988), "Cohomología elíptica y formas modulares", en Landweber, PS (ed.), Curvas elípticas y formas modulares en topología algebraica , Lecture Notes in Mathematics, 1326 , Berlín: Springer, págs. 55– 68, ISBN 3-540-19490-8.
- Landweber, PS; Ravenel, D. & Stong, R. (1995), "Teorías de cohomología periódica definidas por curvas elípticas", en Cenkl, M. & Miller, H. (eds.), The Čech Centennial 1993 , Contemp. Math., 181 , Boston: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 317–338, ISBN 0-8218-0296-8.
- Lurie, Jacob (2009), "Un estudio de cohomología elíptica", en Baas, Nils; Friedlander, Eric M .; Jahren, Björn; et al. (eds.), Topología algebraica: The Abel Symposium 2007 , Berlín: Springer, págs. 219–277, doi : 10.1007 / 978-3-642-01200-6 , hdl : 2158/373831 , ISBN 978-3-642-01199-3.