En matemáticas , la teoría de la obstrucción es un nombre que se le da a dos teorías matemáticas diferentes , las cuales producen invariantes cohomológicas .
En el trabajo original de Stiefel y Whitney , las clases características se definieron como obstrucciones a la existencia de ciertos campos de vectores lineales independientes . La teoría de la obstrucción resulta ser una aplicación de la teoría de la cohomología al problema de construir una sección transversal de un paquete .
En la teoría de la homotopía
El significado más antiguo de la teoría de la obstrucción en la teoría de la homotopía se relaciona con el procedimiento, inductivo con respecto a la dimensión, para extender un mapeo continuo definido en un complejo simplicial o complejo CW . Se la denomina tradicionalmente teoría de la obstrucción de Eilenberg , en honor a Samuel Eilenberg . Involucra grupos de cohomología con coeficientes en grupos de homotopía para definir obstrucciones a extensiones. Por ejemplo, con un mapeo de un complejo simplicial X a otro, Y , definido inicialmente en el esqueleto 0 de X (los vértices de X ), será posible una extensión del esqueleto 1 siempre que la imagen del esqueleto 0 pertenecerá al mismo componente de Y conectado a la ruta . Extenderse desde el esqueleto 1 al esqueleto 2 significa definir el mapeo en cada triángulo sólido desde X , dado el mapeo ya definido en sus bordes limítrofes. Asimismo, extender el mapeo al esqueleto 3 implica extender el mapeo a cada 3-simplex sólido de X , dado el mapeo ya definido en su límite.
En algún momento, digamos extender el mapeo del esqueleto (n-1) de X al esqueleto n de X , este procedimiento podría ser imposible. En ese caso, se puede asignar a cada n-simplex la clase de homotopía π n-1 ( Y ) del mapeo ya definido en su límite, (al menos uno de los cuales será distinto de cero). Estas asignaciones definen una n-cocadena con coeficientes en π n-1 ( Y ) . Sorprendentemente, esta cocadena resulta ser un cociclo y, por lo tanto, define una clase de cohomología en el n-ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes en π n-1 ( Y ) . Cuando esta clase cohomology es igual a 0, resulta que la asignación se puede modificar dentro de su clase homotopy en la (n-1) -skeleton de X de manera que el mapeo puede extenderse a la n-esqueleto de X . Si la clase no es igual a cero, se denomina obstrucción para extender el mapeo sobre el n-esqueleto, dada su clase de homotopía en el (n-1) -esqueleto.
Obstrucción para extender una sección de un paquete principal
Construcción
Supongamos que B es un simplemente conectado simplicial complejo y que p : E → B es una formación de fibras con fibra F . Por otra parte, supongamos que tenemos una parte definida la sección σ n : B N → E en el n -skeleton de B .
Por cada ( n + 1) -simplex Δ en B , σ n puede ser restringido al límite ∂Δ (que es un topológica n -sphere ). Debido a que p envía cada σ n ( ∂Δ ) de nuevo a ∂Δ , σ n define un mapa de la n -sphere a p -1 ( Δ ) . Debido a que las fibraciones satisfacen la propiedad de elevación de homotopía, y Δ es contráctil ; p -1 ( Δ ) es homotopy equivalente a F . Entonces, esta sección parcialmente definida asigna un elemento de π n ( F ) a cada ( n + 1) -simplex. Esto es precisamente los datos de un π n ( F ) -valued simplicial cocadena de grado n + 1 en B , es decir, un elemento de C n + 1 (B; π n ( F )) . Esta cocadena se llama cocadena de obstrucción porque siendo el cero significa que todos estos elementos de π n ( F ) son triviales, lo que significa que nuestra sección parcialmente definida se puede extender al ( n + 1) -esqueleto usando la homotopía entre (la sección parcialmente definida en el límite de cada Δ ) y el mapa constante.
El hecho de que esta cocadena provenga de una sección parcialmente definida (a diferencia de una colección arbitraria de mapas de todos los límites de todos los ( n + 1) -simplices) puede usarse para demostrar que esta cocadena es un ciclo. Si uno comienza con una sección diferente parcialmente definida σ n que coincide con el original en el ( n - 1) -esqueleto, entonces también se puede probar que el ciclo resultante diferiría del primero por un co-límite. Por lo tanto, tenemos un elemento bien definido del grupo de cohomología H n + 1 ( B ; π n ( F )) tal que si existe una sección parcialmente definida en el ( n + 1) -esqueleto que está de acuerdo con la elección dada en el ( n - 1) -skeleton, entonces esta clase de cohomología debe ser trivial.
Lo contrario también es cierto si uno permite que cosas tales como secciones de homotopía , es decir, un mapa σ : B → E tal que p ∘ σ es homotópico (en comparación con igual) a la aplicación identidad de B . Por lo tanto, proporciona una invariante completa de la existencia de secciones hasta la homotopía en el esqueleto ( n + 1) .
Aplicaciones
- Al inducir sobre n , se puede construir una primera obstrucción a una sección como la primera de las clases de cohomología anteriores que no sea cero.
- Esto se puede utilizar para encontrar obstrucciones a trivializaciones de paquetes principales .
- Debido a que cualquier mapa se puede convertir en una fibración , esta construcción se puede usar para ver si hay obstrucciones a la existencia de una elevación (hasta homotopía) de un mapa en B a un mapa en E incluso si p : E → B es no una fibración.
- Es crucial para la construcción de sistemas Postnikov .
En topología geométrica
En topología geométrica , la teoría de la obstrucción se ocupa de cuándo una variedad topológica tiene una estructura lineal por partes y cuando una variedad lineal por partes tiene una estructura diferencial .
En dimensión como máximo 2 (Rado) y 3 (Morse), las nociones de variedades topológicas y variedades lineales por partes coinciden. En la dimensión 4 no son iguales.
En dimensiones como máximo 6 coinciden las nociones de colectores lineales por partes y colectores diferenciables.
En teoría de la cirugía
Las dos preguntas básicas de la teoría de la cirugía son si un espacio topológico con dualidad de Poincaré n- dimensional es homotopía equivalente a una variedad n- dimensional , y también si una equivalencia de homotopía de variedades n- dimensionales es homotópica a un difeomorfismo . En ambos casos hay dos obstrucciones para n> 9 , una obstrucción de la teoría K topológica primaria a la existencia de un paquete vectorial : si este desaparece, existe un mapa normal , lo que permite definir la obstrucción quirúrgica secundaria en la teoría L algebraica para realizar una cirugía en el mapa normal para obtener una equivalencia de homotopía .
Ver también
- Clase Kirby-Siebenmann
- Obstrucción de la finitud de la pared
Referencias
- Husemöller, Dale (1994), paquetes de fibra , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1
- Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0
- Scorpan, Alexandru (2005). El mundo salvaje de 4 variedades . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3749-4.