En topología , una rama de las matemáticas, un espacio topológicamente estratificado es un espacio X que se ha descompuesto en pedazos llamados estratos ; estos estratos son múltiples y se requiere que encajen de cierta manera. Los espacios topológicamente estratificados proporcionan un marco puramente topológico para el estudio de singularidades análogas a la teoría más diferencial-geométrica de Whitney . Fueron presentados por René Thom , quien demostró que cada espacio estratificado de Whitney era también un espacio topológicamente estratificado, con los mismos estratos. John Mather dio otra prueba en 1970, inspirada en la prueba de Thom.
Los ejemplos básicos de espacios estratificados incluyen colectores con límite (dimensión superior y límite de codimensión 1) y colectores con esquinas (dimensión superior, límite de codimensión 1, esquinas de codimensión 2).
La definición es inductiva en la dimensión de X . Una estratificación topológica n- dimensional de X es una filtración
de X por subespacios cerrados tales que para cada iy para cada punto x de
existe un barrio
de x en X , un espacio estratificado L compacto ( n - i - 1) -dimensional , y un homeomorfismo que preserva la filtración
Aquí es la abierta cono en L .
Si X es un espacio topológicamente estratificado, el estrato i- dimensional de X es el espacio
Los componentes conectados de X i \ X i-1 también se denominan con frecuencia estratos.
Una de las motivaciones originales para los espacios estratificados fue descomponer espacios singulares en trozos suaves. Por ejemplo, dada una variedad singular , existe una subvariedad definida naturalmente , que es el locus singular. Esta puede no ser una variedad uniforme, por lo que tomar el locus de singularidad iterado eventualmente dará una estratificación natural. Un ejemplo algebreogeométrico simple es la hipersuperficie singular
donde está el espectro principal .