En matemáticas , una filtración es una familia indexada de subobjetos de una estructura algebraica dada , con el índice ejecutando un conjunto de índices totalmente ordenado , sujeto a la condición de que
- Si en , luego .
Si el índice es el parámetro de tiempo de algún proceso estocástico, entonces la filtración puede interpretarse como la representación de toda la información histórica pero no futura disponible sobre el proceso estocástico, con la estructura algebraica ganando complejidad con el tiempo. Por tanto, un proceso que se adapta a una filtración, también se llama no anticipado , es decir, uno que no puede ver el futuro . [1]
A veces, como en un álgebra filtrada , existe el requisito de que elser subálgebras con respecto a algunas operaciones (digamos, suma de vectores), pero no con respecto a otras operaciones (digamos, multiplicación), que satisfacen, donde el conjunto de índices son los números naturales ; esto es por analogía con un álgebra graduada .
A veces, se supone que las filtraciones satisfacen el requisito adicional de que la unión del ser el todo , o (en casos más generales, cuando la noción de unión no tiene sentido) que el homomorfismo canónico desde el límite directo de la a es un isomorfismo . Si este requisito se asume o no, generalmente depende del autor del texto y, a menudo, se establece explícitamente. Este artículo no impone este requisito.
También existe la noción de una filtración descendente , que se requiere para satisfacer en lugar de (y, ocasionalmente, en vez de ). Una vez más, depende del contexto cómo debe entenderse exactamente la palabra "filtración". Las filtraciones descendentes no deben confundirse con la noción dual de cofiltraciones (que consisten en objetos cocientes en lugar de subobjetos ).
Las filtraciones se utilizan ampliamente en álgebra abstracta , álgebra homológica (donde se relacionan de manera importante con secuencias espectrales ) y en teoría de medidas y teoría de probabilidad para secuencias anidadas de σ-álgebras . En análisis funcional y análisis numérico , se suele utilizar otra terminología, como escala de espacios o espacios anidados .
Ejemplos de
Álgebra
Grupos
En álgebra, las filtraciones normalmente están indexadas por , el conjunto de números naturales. Una filtración de un grupo, es entonces una secuencia anidada de subgrupos normales de (es decir, para cualquier tenemos ). Tenga en cuenta que este uso de la palabra "filtración" corresponde a nuestra "filtración descendente".
Dado un grupo y una filtración , hay una forma natural de definir una topología en, se dice que está asociado a la filtración. Una base para esta topología es el conjunto de todas las traducciones [ aclaración necesaria ] de los subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un subconjunto de se define como abierto si es una unión de conjuntos de la forma , dónde y es un número natural.
La topología asociada a una filtración en un grupo hace en un grupo topológico .
La topología asociada a una filtración en un grupo es Hausdorff si y solo si.
Si dos filtraciones y están definidos en un grupo , luego el mapa de identidad de a , donde la primera copia de se le da el -topología y el segundo el -topología, es continua si y solo si para cualquier hay un tal que , es decir, si y solo si el mapa de identidad es continuo en 1. En particular, las dos filtraciones definen la misma topología si y solo si para cualquier subgrupo que aparece en uno hay uno más pequeño o igual que aparece en el otro.
Anillos y módulos: filtraciones descendentes
Dado un anillo y un -módulo , una filtración descendente de es una secuencia decreciente de submódulos . Este es, por tanto, un caso especial de la noción de grupos, con la condición adicional de que los subgrupos sean submódulos. La topología asociada se define como para grupos.
Un caso especial importante se conoce como -topología ádica (o -ádico, etc.). Dejar ser un anillo conmutativo, y un ideal de .
Dado un -módulo , la secuencia de submódulos de forma una filtración de . La-topología ádica enes entonces la topología asociada a esta filtración. Si es solo el anillo en sí, hemos definido el -topología ádica en.
Cuándo se le da el -topología ádica, se convierte en un anillo topológico . Si una-módulo entonces se le da el -topología ádica, se convierte en una topología-módulo , relativo a la topología dada en.
Anillos y módulos: filtraciones ascendentes
Dado un anillo y un -módulo , una filtración ascendente de es una secuencia creciente de submódulos . En particular, si es un campo, luego una filtración ascendente de la -espacio vectorial es una secuencia creciente de subespacios vectoriales de . Las banderas son una clase importante de tales filtraciones.
Conjuntos
Una filtración máxima de un conjunto equivale a un ordenamiento (una permutación ) del conjunto. Por ejemplo, la filtración corresponde al pedido . Desde el punto de vista del campo con un elemento , un ordenamiento en un conjunto corresponde a una bandera máxima (una filtración en un espacio vectorial), considerando un conjunto como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento.
Teoría de la medida
En la teoría de la medida , en particular en la teoría de la martingala y la teoría de los procesos estocásticos , una filtración es una secuencia creciente de-álgebras en un espacio medible . Es decir, dado un espacio medible, una filtración es una secuencia de -álgebras con donde cada es un número real no negativo y
El rango exacto de los "tiempos" generalmente dependerá del contexto: el conjunto de valores para puede ser discreta o continua, limitada o ilimitada. Por ejemplo,
De manera similar, un espacio de probabilidad filtrado (también conocido como base estocástica ), es un espacio de probabilidad equipado con la filtración de su -álgebra . Se dice que un espacio de probabilidad filtrado satisface las condiciones habituales si está completo (es decir, contiene todo - conjuntos nulos ) y continuos a la derecha (es decir para todos los tiempos ). [2] [3] [4]
También es útil (en el caso de un conjunto de índices ilimitado) definir como el -álgebra generada por la unión infinita de los 's, que está contenido en :
Un σ -álgebra define el conjunto de eventos que se pueden medir, que en un contexto de probabilidad es equivalente a eventos que se pueden discriminar, o "preguntas que se pueden responder en el momento". Por lo tanto, una filtración se utiliza a menudo para representar el cambio en el conjunto de eventos que se pueden medir, a través de la ganancia o pérdida de información . Un ejemplo típico es en finanzas matemáticas , donde una filtración representa la información disponible hasta e incluyendo cada hora, y es cada vez más preciso (el conjunto de eventos medibles permanece igual o aumenta) a medida que se dispone de más información de la evolución del precio de las acciones.
Relación con los tiempos de parada: tiempo de parada sigma-álgebras
Dejar ser un espacio de probabilidad filtrado. Una variable aleatoriaes un tiempo de parada con respecto a la filtración , Si para todos . El tiempo de parada -el álgebra ahora se define como
- .
No es difícil demostrar que es de hecho un σ {\ Displaystyle \ sigma} -álgebra . El conjuntocodifica información hasta el momento aleatorio en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede encontrar sobre él es desde la repetición arbitraria y frecuente del experimento hasta el momento aleatorio es . [5] En particular, si el espacio de probabilidad subyacente es finito (es decir, es finito), los conjuntos mínimos de (con respecto a la inclusión de conjuntos) son dados por la unión sobre todos de los conjuntos de conjuntos mínimos de que se encuentran en . [5]
Se puede demostrar que es -mensurable. Sin embargo, ejemplos simples [5] muestran que, en general,. Si y están deteniendo tiempos en, y casi seguro , entonces
Ver también
- Filtración natural
- Filtración (teoría de la probabilidad)
- Filtro (matemáticas)
Referencias
- ^ Björk, Thomas (2005). "Apéndice B". Teoría del arbitraje en tiempo continuo . ISBN 978-0-19-927126-9.
- ^ Péter Medvegyev (enero de 2009). "Procesos estocásticos: una introducción muy sencilla" (PDF) . Consultado el 25 de junio de 2012 .
- ^ Claude Dellacherie (1979). Probabilidades y potencial . Elsevier. ISBN 9780720407013.
- ^ George Lowther (8 de noviembre de 2009). "Filtraciones y Procesos Adaptados" . Consultado el 25 de junio de 2012 .
- ^ a b c Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y tiempos de parada sigma-álgebras". Estadísticas y letras de probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016 / j.spl.2012.09.024 .
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.