En topología , especialmente topología algebraica , el cono de un espacio topológico es el espacio del cociente :
del producto de X con el intervalo unitario . Intuitivamente, esta construcción convierte a X en un cilindro y colapsa un extremo del cilindro en un punto .
Si es un subespacio compacto del espacio euclidiano , el cono enes homeomorfo a la unión de segmentos de a cualquier punto fijo tal que estos segmentos se cruzan sólo por sí mismo. Es decir, el cono topológico concuerda con el cono geométrico para espacios compactos cuando este último está definido. Sin embargo, la construcción del cono topológico es más general.
Ejemplos de
Aquí a menudo usamos el cono geométrico (definido en la introducción) en lugar del topológico. Los espacios considerados son compactos, por lo que obtenemos el mismo resultado hasta el homeomorfismo.
- El cono sobre un punto p de la recta real es el intervalo .
- El cono sobre dos puntos {0, 1} tiene forma de "V" con extremos en {0} y {1}.
- El cono sobre un intervalo cerrado I de la línea real es un triángulo relleno (con uno de los bordes siendo I ), también conocido como 2-simplex (ver el ejemplo final).
- El cono sobre un polígono P es una pirámide con base P .
- El cono sobre un disco es el cono sólido de la geometría clásica (de ahí el nombre del concepto).
- El cono sobre un círculo dado por
- es la superficie curva del cono sólido:
- Esto a su vez es homeomórfico al disco cerrado .
Propiedades
Todos los conos están conectados por una trayectoria, ya que cada punto se puede conectar al punto del vértice. Además, cada cono es contráctil al punto del vértice por la homotopía
- .
El cono se utiliza en topología algebraica precisamente porque incrusta un espacio como subespacio de un espacio contráctil.
Cuando X es compacto y Hausdorff (esencialmente, cuando X se puede incrustar en el espacio euclidiano), entonces el conose puede visualizar como la colección de líneas que unen cada punto de X en un solo punto. Sin embargo, esta imagen falla cuando X no es compacto o no es Hausdorff, ya que generalmente la topología del cociente enserá más fino que el conjunto de líneas que unen X a un punto.
Functor de cono
El mapa induce un functor en la categoría de espacios topológicos Top . Sies un mapa continuo , entonces es definido por
- ,
donde los corchetes denotan clases de equivalencia .
Cono reducido
Si es un espacio puntiagudo , hay una construcción relacionada, el cono reducido , dado por
donde tomamos el punto base del cono reducido como la clase de equivalencia de . Con esta definición, la inclusión naturalse convierte en un mapa basado. Esta construcción también da un functor, desde la categoría de espacios apuntados a sí misma.
Ver también
Referencias
- Allen Hatcher , topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 págs. ISBN 0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0
- "Cono" . PlanetMath .