Rango de un grupo abeliano
En matemáticas , el rango , rango Prüfer , o rango libre de torsión de un grupo abeliano A es la cardinalidad de un maximal linealmente independientes subconjunto. [1] El rango de A determina el tamaño del grupo abeliano libre más grande contenido en A . Si A es libre de torsión entonces se incrusta en un espacio vectorial sobre los números racionales de rango dimensión A . Para grupos abelianos finitamente generados, el rango es un invariante fuerte y cada uno de estos grupos está determinado hasta el isomorfismo por su subgrupo de rango y torsión . Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 han sido completamente clasificados. Sin embargo, la teoría de los grupos abelianos de mayor rango es más complicada.
Un subconjunto { a α } de un grupo abeliano A es linealmente independiente (sobre Z ) si la única combinación lineal de estos elementos que es igual a cero es trivial: si
donde todos excepto un número finito de coeficientes n α son cero (de modo que la suma es, en efecto, finita), entonces todos los sumandos son 0. Cualquier dos conjuntos máximos linealmente independientes en A tienen la misma cardinalidad , que se denomina rango de A.
El rango de un grupo abeliano es análogo a la dimensión de un espacio vectorial . La principal diferencia con el caso del espacio vectorial es la presencia de torsión . Un elemento de un grupo abeliano A se clasifica como torsión si su orden es finito. El conjunto de todos los elementos de torsión es un subgrupo, llamado subgrupo de torsión y denotado T ( A ). Un grupo se llama libre de torsión si no tiene elementos de torsión no triviales. El factor-grupo A / T ( A ) es el único cociente máximo libre de torsión de A y su rango coincide con el rango de A.
La noción de rango con propiedades análogas se puede definir para módulos sobre cualquier dominio integral , siendo el caso de grupos abelianos correspondientes a módulos sobre Z. Para esto, consulte el módulo generado de forma finita#Rango genérico .
Los grupos abelianos de rango mayor que 1 son fuentes de ejemplos interesantes. Por ejemplo, para cada cardinal d existen grupos abelianos libres de torsión de rango d que son indescomponibles , es decir, no pueden expresarse como una suma directa de un par de sus subgrupos propios. Estos ejemplos demuestran que el grupo abeliano sin torsión de rango mayor que 1 no puede construirse simplemente mediante sumas directas a partir de grupos abelianos sin torsión de rango 1, cuya teoría se comprende bien. Además, para todo número entero , existe un grupo abeliano libre de torsión de rango que es simultáneamente una suma de dos grupos indescomponibles y una suma de n grupos indescomponibles. [ cita requerida ]Por lo tanto, incluso el número de sumandos indescomponibles de un grupo de un rango par mayor o igual que 4 no está bien definido.
