Acción toroide

En geometría algebraica, una acción de toro sobre una variedad algebraica es una acción grupal de un toro algebraico sobre la variedad. Una variedad equipada con una acción de un toro T se denomina variedad T. En geometría diferencial, se considera una acción de un toro real o complejo sobre una variedad (o un orbifold ).

Una variedad algebraica normal con un toro que actúa sobre él de tal manera que hay una órbita densa se denomina variedad tórica (por ejemplo, los cierres de órbita que son normales son variedades tóricas).

Una acción lineal de un toro se puede diagonalizar simultáneamente, después de extender el campo base si es necesario: si un toro T está actuando en un espacio vectorial de dimensión finita V , entonces hay una descomposición de suma directa:

La descomposición existe porque la acción lineal determina (y es determinada por) una representación lineal y luego consiste en conmutar transformaciones lineales diagonalizables , al extender el campo base.

Si V no tiene una dimensión finita, la existencia de tal descomposición es complicada, pero un caso fácil cuando la descomposición es posible es cuando V es una unión de representaciones de dimensión finita ( se llama racional ; vea un ejemplo a continuación). Alternativamente, se usa el análisis funcional ; por ejemplo, utiliza una suma directa de espacio de Hilbert .

Ejemplo : Sea un anillo polinomial sobre un campo infinito k . Vamos a actuar sobre ella como automorfismos de álgebra por: para