En matemáticas , un toro algebraico , donde un toro unidimensional se denota típicamente por, , o , Es un tipo de conmutativa afín algebraica grupo se encuentran comúnmente en proyectiva algebraica geometría y tórica geometría . Los toros algebraicos de mayor dimensión se pueden modelar como un producto de grupos algebraicos. Estos grupos fueron nombrados por analogía con la teoría de tori en la teoría de grupos de Lie (ver subgrupo de Cartan ). Por ejemplo, sobre los números complejos el toro algebraico es isomorfo al esquema de grupo , que es el esquema teórico análogo del grupo de Lie . De hecho, cualquier-acción en un espacio vectorial complejo se puede reducir a un -acción de la inclusión como variedades reales.
Los tori son de fundamental importancia en la teoría de grupos algebraicos y grupos de Lie y en el estudio de los objetos geométricos asociados a ellos como los espacios simétricos y los edificios .
Tori algebraico sobre campos
En la mayoría de lugares suponemos que el campo base es perfecto (por ejemplo, cero finito o característico). Esta hipótesis es necesaria para tener un esquema de grupo suave [1] pág. 64 , ya que para un grupo algebraico ser suave sobre la característica , los mapas
En general, hay que utilizar cierres separables en lugar de cierres algebraicos.
Grupo multiplicativo de un campo
Si es un campo, entonces el grupo multiplicativo sobre es el grupo algebraico tal que para cualquier extensión de campo la -los puntos son isomorfos al grupo . Para definirlo correctamente como un grupo algebraico se puede tomar la variedad afín definida por la ecuación en el plano afín sobre con coordenadas . La multiplicación se da luego restringiendo el mapa racional regular definido por y la inversa es la restricción del mapa racional regular .
Definición
Dejar ser un campo con cierre algebraico . Entonces un-torus es un grupo algebraico definido sobre que es isomorfo sobre a un producto finito de copias del grupo multiplicativo.
En otras palabras, si es un -grupo es un toro si y solo si para algunos . La terminología básica asociada a tori es la siguiente.
- El entero se llama rango o rango absoluto del toro.
- Se dice que el toro está dividido en una extensión de campo. Si . Hay una extensión finita mínima única de sobre cual está dividido, que se llama el campo de división de.
- La -rango de es el rango máximo de un subtoro dividido de . Un toro se divide si y solo si su-Rango es igual a su rango absoluto.
- Se dice que un toro es anisotrópico si su-Rango es cero.
Isogenias
Una isogenia entre grupos algebraicos es un morfismo sobreyectivo con kernel finito; se dice que dos toros son isógenos si existe una isogenia del primero al segundo. Las isogenias entre toros se comportan particularmente bien: para cualquier isogenia existe una isogenia "dual" tal que es un mapa de poder. En particular, ser isógeno es una relación de equivalencia entre toros.
Ejemplos de
Sobre un campo algebraicamente cerrado
Sobre cualquier campo algebraicamente cerrado hasta el isomorfismo existe un toro único de cualquier rango dado. Por un rango toro algebraico sobre esto viene dado por el esquema de grupo [1] pág . 230 .
Sobre los números reales
Sobre el campo de los números reales hay exactamente (hasta el isomorfismo) dos toros de rango 1:
- el toro partido
- la forma compacta, que se puede realizar como el grupo unitario o como el grupo ortogonal especial . Es un toro anisotrópico. Como grupo de Lie, también es isomorfo al 1- toro , que explica la imagen de grupos algebraicos diagonalizables como tori.
Cualquier toro real es isógeno a una suma finita de esos dos; por ejemplo el toro real está doblemente cubierto por (pero no isomorfo a) . Esto da un ejemplo de tori isógenos, no isomórficos.
Sobre un campo finito
Sobre el campo finito hay dos toros de rango 1: el dividido, de cardinalidad , y el anisotrópico de cardinalidad . Este último se puede realizar como el grupo de matriz
De manera más general, si es una extensión de campo finito de grado entonces la restricción de Weil de a del grupo multiplicativo de es un -toro de rango y -rango 1 (tenga en cuenta que la restricción de escalares sobre una extensión de campo inseparable producirá un grupo algebraico conmutativo que no es un toro). El kernelde su norma de campo es también un toro, que es anisotrópico y de rango. Alguna-torus de rango uno está dividido o isomorfo al núcleo de la norma de una extensión cuadrática. [2] Los dos ejemplos anteriores son casos especiales de esto: el toro real compacto es el núcleo de la norma de campo de y el toro anisotrópico sobre es el núcleo de la norma de campo de .
Pesos y pesos
Sobre un campo cerrado separablemente, un toro T admite dos invariantes primarios. La celosía de peso es el grupo de homomorfismos algebraicos T → G m , y la retícula de ochoes el grupo de algebraica homomorfismos G m → T . Ambos son grupos abelianos libres cuyo rango es el del toro y tienen un emparejamiento canónico no degenerado. dada por , donde grado es el número n tal que la composición es igual al n- ésimo mapa de potencia en el grupo multiplicativo. El functor dado al tomar pesos es una antiequivalencia de categorías entre tori y grupos abelianos libres, y el functor coweight es una equivalencia. En particular, los mapas de Tori se caracterizan por transformaciones lineales en pesos o coweights, y el grupo de automorfismo de un toro es un grupo lineal general sobre Z . El cuasi inverso del functor de ponderaciones viene dado por un functor de dualización de grupos abelianos libres a tori, definido por su functor de puntos como:
Esta equivalencia se puede generalizar para pasar entre grupos de tipo multiplicativo (una clase distinguida de grupos formales ) y grupos abelianos arbitrarios, y tal generalización puede ser conveniente si uno quiere trabajar en una categoría de buen comportamiento, ya que la categoría de tori no lo hace. no tiene granos ni colimits filtrados.
Cuando un campo K no está cerrado separablemente, el peso y las rejillas de un toro sobre K se definen como las rejillas respectivas sobre el cierre separable. Esto induce acciones continuas canónicas del grupo de Galois absoluto de K en las celosías. Los pesos y coweights corregidos por esta acción son precisamente los mapas que se definen sobre K . El funtor de tomar pesos es un antiequivalence entre la categoría de Tori sobre K con homomorfismos algebraicas y la categoría de grupos abelianos libres de torsión finitamente generado con una acción del grupo de Galois absoluto de K .
Dada una extensión de campo separable finita L / K y un toro T sobre L , tenemos un isomorfismo del módulo de Galois
Si T es el grupo multiplicativo, esto le da a la restricción de escalares una estructura de módulo de permutación. Los tori cuyas celosías de peso son módulos de permutación para el grupo de Galois se denominan cuasi-split, y todos los tori cuasi-split son productos finitos de restricciones de escalares.
Tori en grupos semisimple
Representaciones lineales de tori
Como se ve en los ejemplos anteriores, los toros se pueden representar como grupos lineales. Una definición alternativa de tori es:
- Un grupo algebraico lineal es un toro si y solo si es diagonalizable sobre un cierre algebraico.
El toro se divide sobre un campo si y solo si se puede diagonalizar sobre este campo.
Rango dividido de un grupo semisimple
Si es un grupo algebraico semisimple sobre un campo luego:
- su rango (o rango absoluto ) es el rango de un subgrupo de toro máximo en (tenga en cuenta que todos los toros máximos se conjugan sobre por lo que el rango está bien definido);
- su -rank (a veces llamado-split rank ) es el rango máximo de un subgrupo de toro en que se divide .
Obviamente el rango es mayor o igual al -rango; el grupo se llama dividido si y solo si se mantiene la igualdad (es decir, hay un toro máximo en que se divide ). El grupo se llama anisotrópico si no contiene tori dividido (es decir, su-rango es cero).
Clasificación de grupos semisimple
En la teoría clásica de álgebras de Lie semisimples sobre el campo complejo, las subálgebras de Cartan juegan un papel fundamental en la clasificación mediante sistemas de raíces y diagramas de Dynkin . Esta clasificación es equivalente a la de los grupos algebraicos conectados sobre el campo complejo, y las subálgebras de Cartan corresponden a toros máximos en estos. De hecho, la clasificación se traslada al caso de un campo base arbitrario bajo el supuesto de que existe un toro máximo dividido (que se satisface automáticamente en un campo algebraicamente cerrado). Sin el supuesto de escisión, las cosas se vuelven mucho más complicadas y se debe desarrollar una teoría más detallada, que todavía se basa en parte en el estudio de las acciones adjuntas de tori.
Si es un toro máximo en un grupo algebraico semisimple luego, sobre el cierre algebraico, da lugar a un sistema de raíces en el espacio vectorial . Por otro lado, si es un máximo -split torus su acción sobre el -Álgebra de mentiras de da lugar a otro sistema de raíces . El mapa de restricciones induce un mapa y el índice de Tetas es una forma de codificar las propiedades de este mapa y de la acción del grupo de Galois de en . El índice de Tetas es una versión "relativa" del diagrama de Dynkin "absoluto" asociado a; obviamente, sólo un número finito de índices de Tits puede corresponder a un diagrama de Dynkin dado.
Otro invariante asociado al toro dividido es el núcleo anisotrópico : este es el grupo algebraico semisimple obtenido como el subgrupo derivado del centralizador de en (este último es solo un grupo reductivo). Como su nombre lo indica, es un grupo anisotrópico, y su tipo absoluto está determinado únicamente por.
El primer paso hacia una clasificación es entonces el siguiente teorema [3]
- Dos semisimple -Los grupos algebraicos son isomorfos si y solo si tienen los mismos índices de Tits y granos anisotrópicos isomorfos.
Esto reduce el problema de clasificación a grupos anisotrópicos y a determinar qué índices de Tits pueden ocurrir para un diagrama de Dynkin dado. Este último problema ha sido resuelto en Tits (1966) . El primero está relacionado con los grupos de cohomología de Galois de. Más precisamente, a cada índice de Tetas se asocia un grupo cuasi dividido único sobre; entonces cada-grupo con el mismo índice es una forma interna de este grupo cuasi-dividido, y estos se clasifican por la cohomología de Galois de con coeficientes en el grupo adjunto.
Tori y geometría
Subespacios planos y rango de espacios simétricos
Si es un grupo de Lie semisimple, entonces su rango real es el-rango como se define arriba (para cualquier -grupo algebraico cuyo grupo de puntos reales es isomorfo a ), en otras palabras, el máximo tal que existe una incrustación . Por ejemplo, el rango real de es igual a , y el rango real de es igual a .
Si es el espacio simétrico asociado a y es un toro dividido máximo, entonces existe una órbita única de en que es un subespacio plano totalmente geodésico en . De hecho, es un subespacio plano máximo y todos los máximos se obtienen como órbitas de toros divididos de esta manera. Por tanto, existe una definición geométrica del rango real, como la dimensión máxima de un subespacio plano en. [4]
Q-rank de celosías
Si el grupo de Lie se obtiene como los puntos reales de un grupo algebraico sobre el campo racional entonces el -rango de tiene también un significado geométrico. Para llegar a él hay que introducir un grupo aritmético asociado a , que es aproximadamente el grupo de puntos enteros de y el espacio del cociente , que es un orbifold de Riemann y, por lo tanto, un espacio métrico. Entonces cualquier cono asintótico dees homeomorfo a un complejo simplicial finito con simplices de dimensión superior de dimensión igual a la-rango de . En particular, es compacto si y solo si es anisotrópico. [5]
Tenga en cuenta que esto permite definir el -Rango de cualquier celosía en un grupo de Lie semisimple, como la dimensión de su cono asintótico.
Edificios
Si es un grupo semisimple sobre el máximo tori dividido en corresponden a los apartamentos del edificio Bruhat-Tits asociado a . En particular, la dimensión de es igual a la -rango de .
Toros algebraicos sobre un esquema de base arbitrario
Definición
Dada una base esquema S , un torus algebraicas más de S se define para ser un esquema de grupo más de S que es fpqc localmente isomorfo a un producto finito de copias del esquema de grupo multiplicativo G m / S sobre S . En otras palabras, existe un mapa fielmente plano X → S tal que cualquier punto en X tiene un vecindario abierto cuasi-compacto U cuya imagen es un subesquema afín abierto de S , tal que el cambio de base a U produce un producto finito de copias de GL 1, U = G m / U . [ Aclaración necesaria ] Un caso particularmente importante es cuando S es el espectro de un campo K , haciendo un toro sobre S un grupo algebraica cuya extensión en cierta extensión separable finita L es un producto finito de copias de G m / L . En general, la multiplicidad de este producto (es decir, la dimensión del esquema) se llama el rango del toro, y es una función localmente constante en S .
La mayoría de las nociones definidas para tori sobre campos se trasladan a esta configuración más general.
Ejemplos de
Un ejemplo común de un toro algebraico es considerar el cono afín de un esquema proyectivo . Luego, con el origen eliminado, el mapa de proyección inducida
Pesos
Para un esquema de base general S , pesos y coweights se definen como poleas fpqc de grupos abelianos libres en S . Estos proporcionan representaciones de grupos fundamentales de la base con respecto a la topología fpqc. Si el toro es localmente trivializable con respecto a una topología más débil, como la topología etale, entonces los haces de grupos descienden a las mismas topologías y estas representaciones se factorizan a través de los respectivos cocientes grupoides. En particular, un haz de etale da lugar a un toro cuasi-isotrivial, y si S es localmente noetheriano y normal (más generalmente, geométricamente no ramificado ), el toro es isotrivial. Como inverso parcial, un teorema de Grothendieck afirma que cualquier toro de tipo finito es cuasi-isotrivial, es decir, dividido por una sobreyección de etale.
Dado un rango n toro T sobre S , una forma retorcida es un toro sobre S para el cual existe una cobertura fpqc de S para la cual sus extensiones de base son isomorfas, es decir, es un toro del mismo rango. Las clases de isomorfismo de formas retorcidas de un toro dividido están parametrizadas por cohomología plana no beliana., donde el grupo de coeficientes forma una gavilla constante. En particular, las formas retorcidas de un toro dividido T sobre un campo K están parametrizadas por elementos del conjunto puntiagudo de cohomología de Galoiscon una acción trivial de Galois sobre los coeficientes. En el caso unidimensional, los coeficientes forman un grupo de orden dos, y las clases de isomorfismo de formas retorcidas de G m están en biyección natural con extensiones cuadráticas separables de K .
Dado que tomar un retículo de pesos es una equivalencia de categorías, las secuencias cortas exactas de toros corresponden a secuencias breves y exactas de los correspondientes retículos de pesos. En particular, las extensiones de tori están clasificadas por poleas Ext 1 . Estos son naturalmente isomorfos a los grupos de cohomología plana.. Sobre un campo, las extensiones están parametrizadas por elementos del grupo de cohomología de Galois correspondiente.
Invariantes aritméticos
En su trabajo sobre los números de Tamagawa , T. Ono introdujo un tipo de invariantes functoriales de tori sobre extensiones finitas separables de un campo k elegido . Tal invariante es una colección de funciones positivas de valor real f K en clases de isomorfismo de tori sobre K , ya que K corre sobre extensiones finitas separables de k , satisfaciendo tres propiedades:
- Multiplicatividad: Dados dos tori T 1 y T 2 sobre K , f K ( T 1 × T 2 ) = f K ( T 1 ) f K ( T 2 )
- Restricción: Para un finito separable extensión L / K , f L evaluado en una L torus es igual a f K evaluado en su restricción de escalares a K .
- Trivialidad proyectiva: si T es un toro sobre K cuya celosía de peso es un módulo proyectivo de Galois, entonces f K ( T ) = 1.
T. Ono mostró que el número Tamagawa de un toro sobre un campo numérico es invariante. Además, mostró que es un cociente de dos invariantes cohomológicos, a saber, el orden del grupo(a veces llamado erróneamente el grupo Picard de T , aunque no clasifica G m torsores sobre T ), y el orden del grupo Tate-Shafarevich .
La noción de invariante dada anteriormente se generaliza naturalmente a tori sobre esquemas de base arbitrarios, con funciones que toman valores en anillos más generales. Si bien el orden del grupo de extensión es un invariante general, los otros dos invariantes anteriores no parecen tener análogos interesantes fuera del ámbito de los campos fraccionarios de los dominios unidimensionales y sus terminaciones.
Ver también
- Geometría tórica
- Toro
- Criptografía basada en torus
- Álgebra de Hopf
Notas
- ^ a b Milne. "Grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupo de tipo finito" (PDF) .
- ^ Voskresenskii, VS (1998). Grupos algebraicos y sus invariantes biracionales . Traducciones de monografías matemáticas. Matemáticas americanas. Soc.
- ^ Tetas 1966 , Teorema 2.7.1.
- ↑ Witte-Morris , 2015 , p. 22.
- ↑ Witte-Morris , 2015 , p. 25.
Referencias
- A. Grothendieck, SGA 3 Exp. VIII – X
- T.Ono, Sobre los números de Tamagawa
- T.Ono, Sobre el número Tamagawa de toros algebraicos Annals of Mathematics 78 (1) 1963.
- Tetas, Jacques (1966). "Clasificación de grupos semisimple algebraicos". En Borel, Armand; Mostow, George D. (eds.). Grupos algebraicos y grupos discontinuos . Actas de simposios en matemáticas puras. 9 . Matemáticas americanas. soc. págs. 33–62.
- Witte-Morris, Dave (2015). Introducción a los grupos aritméticos . Prensa deductiva. pag. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2.