En matemáticas , un árbol de triples pitagóricos primitivos es un árbol de datos en el que cada nodo se ramifica a tres nodos subsiguientes con el conjunto infinito de todos los nodos dando todos (y solo) los triples pitagóricos primitivos sin duplicación.
A Pitágoras triple es un conjunto de tres positivos enteros a, b, y c que tiene la propiedad de que pueden ser, respectivamente, las dos piernas y la hipotenusa de un triángulo rectángulo , con lo que satisface la ecuación; los triples se dice que es primitivo si y sólo si el máximo común divisor de a, b, y c es uno. Primitivos pitagóricos triples a, b, y c son también pairwise primos entre sí . El conjunto de todas las tripletas pitagóricas primitivas tiene la estructura de un árbol enraizado , concretamente un árbol ternario , de forma natural. Esto fue descubierto por primera vez por B. Berggren en 1934. [1]
FJM Barning mostró [2] que cuando cualquiera de las tres matrices
se multiplica a la derecha por un vector columna cuyos componentes forman un triple pitagórico, entonces el resultado es otro vector columna cuyos componentes son un triple pitagórico diferente. Si el triple inicial es primitivo, entonces también lo es el resultado. Así, cada triple primitivo pitagórico tiene tres "hijos". Todos los triples pitagóricos primitivos descienden así del triple (3, 4, 5), y ningún triple primitivo aparece más de una vez. El resultado se puede representar gráficamente como un árbol ternario infinito con (3, 4, 5) en el nodo raíz (ver árbol clásico a la derecha). Este árbol también apareció en artículos de A. Hall en 1970 [3] y AR Kanga en 1990. [4] En 2008 VE Firstov mostró en general que solo existen tres árboles de tricotomía de este tipo y dan explícitamente un árbol similar al de Berggren pero comenzando con el nodo inicial (4, 3, 5). [5]
Pruebas
Presencia de triples pitagóricos exclusivamente primitivos
Se puede demostrar inductivamente que el árbol contiene triples pitagóricos primitivos y nada más, mostrando que a partir de un triple pitagórico primitivo, como el que está presente en el nodo inicial con (3, 4, 5), cada triple generado es tanto pitagórico como primitivo. .
Conservación de la propiedad pitagórica
Si alguna de las matrices anteriores, digamos A , se aplica a un triple ( a , b , c ) T que tiene la propiedad pitagórica a 2 + b 2 = c 2 para obtener un nuevo triple ( d , e , f ) T = A ( a , b , c ) T , este nuevo triple también es pitagórico. Esto se puede ver escribiendo cada uno de d , e y f como la suma de tres términos en a , b y c , elevando al cuadrado cada uno de ellos y sustituyendo c 2 = a 2 + b 2 para obtener f 2 = d 2 + e 2 . Esto es válido para B y C , así como para A .
Preservación de la primitividad
Las matrices A , B y C son todas unimodulares , es decir, solo tienen entradas enteras y sus determinantes son ± 1. Por lo tanto, sus inversas también son unimodulares y, en particular, solo tienen entradas enteras. Entonces, si alguno de ellos, por ejemplo A , se aplica a un triple pitagórico primitivo ( a , b , c ) T para obtener otro triple ( d , e , f ) T , tenemos ( d , e , f ) T = a ( un , b , c ) T y por lo tanto ( a , b , c ) T = a -1 ( d , e , f ) T . Si cualquier factor primo fueron compartidos por dos cualesquiera de (y por tanto los tres) d , e , y f entonces por esta última ecuación que el primer también sería dividir cada una de una , b , y c . Así que si una , b , y c están en coprimero hecho pairwise, a continuación, d , e , y f debe ser primos entre sí por parejas también. Esto es válido para B y C , así como para A .
Presencia de cada triple primitivo pitagórico exactamente una vez
Para mostrar que el árbol contiene todos los triples pitagóricos primitivos, pero no más de una vez, basta con mostrar que para dichos triples hay exactamente un camino de regreso a través del árbol hasta el nodo inicial (3, 4, 5). Esto se puede ver aplicando a su vez cada una de las matrices inversas unimodulares A −1 , B −1 y C −1 a una triple primitiva pitagórica arbitraria ( d , e , f ), notando que por el razonamiento anterior la primitividad y la pitagórica se retienen las propiedades, y observando que para cualquier triple mayor que (3, 4, 5) exactamente una de las matrices de transición inversa produce un nuevo triple con todas las entradas positivas (y una hipotenusa menor). Por inducción, este nuevo triple válido conduce en sí mismo a exactamente un triple válido más pequeño, y así sucesivamente. Por la finitud del número de hipotenusas potenciales cada vez más pequeñas, finalmente se alcanza (3, 4, 5). Esto prueba que ( d , e , f ) de hecho ocurre en el árbol, ya que se puede llegar desde (3, 4, 5) invirtiendo los pasos; y ocurre de manera única porque solo había un camino de ( d , e , f ) a (3, 4, 5).
Propiedades
La transformación que usa la matriz A , si se realiza repetidamente desde ( a , b , c ) = (3, 4, 5), conserva la característica b + 1 = c ; la matriz B conserva a - b = ± 1 a partir de (3, 4, 5); y la matriz C conserva la característica a + 2 = c a partir de (3, 4, 5).
Una interpretación geométrica de este árbol involucra los círculos presentes en cada nodo. Los tres hijos de cualquier triángulo padre "heredan" sus inradios del padre: los radios excircle del padre se convierten en los inradios de la siguiente generación. [6] : p.7 Por ejemplo, el padre (3, 4, 5) tiene radios de excirculo iguales a 2, 3 y 6. Estos son precisamente los radios de los tres hijos (5, 12, 13), (15, 8 , 17) y (21, 20, 29) respectivamente.
Si cualquiera de A o C se aplica repetidamente a partir de cualquier de Pitágoras utilizado de triple como una condición inicial, entonces la dinámica de cualquiera de un , b , y c se puede expresar como la dinámica de x en
que se basa en la ecuación de características compartidas de las matrices
Si B se aplica repetidamente, entonces la dinámica de cualquiera de un , b , y c se pueden expresar como la dinámica de x en
que se modela en la ecuación característica de B . [7]
Además, se puede encontrar una infinidad de otras ecuaciones en diferencias univariadas de tercer orden multiplicando cualquiera de las tres matrices juntas un número arbitrario de veces en una secuencia arbitraria. Por ejemplo, la matriz D = CB mueve uno fuera del árbol por dos nodos (a través, luego hacia abajo) en un solo paso; la ecuación característica de D proporciona el patrón para la dinámica de tercer orden de cualquiera de un , b, o c en la no exhaustiva árbol formado por D .
Métodos alternativos para generar el árbol.
Otro enfoque de la dinámica de este árbol [8] se basa en la fórmula estándar para generar todas las triples pitagóricas primitivas:
con m > n > 0 y m y n primos entre sí y de la paridad opuesta. Los pares ( m , n ) se pueden iterar multiplicándolos previamente (expresados como un vector de columna) por cualquiera de
cada uno de los cuales conserva las desigualdades, la coprimidad y la paridad opuesta. El árbol ternario resultante, que comienza en (2,1), contiene cada par ( m , n ) exactamente una vez, y cuando se convierte en triples ( a , b , c ) se vuelve idéntico al árbol descrito anteriormente.
Otra forma de usar dos parámetros subyacentes para generar el árbol de triples [9] usa una fórmula alternativa para todos los triples primitivos:
con u > v > 0 y u y v primos entre sí y ambos impares . Los pares ( u , v ) se pueden iterar pre-multiplicándolos (expresados como un vector de columna) por cualquiera de las matrices 2 × 2 anteriores, las tres preservan las desigualdades, la coprimidad y la paridad impar de ambos elementos. Cuando este proceso comienza en (3, 1), el árbol ternario resultante contiene cada par ( u , v ) exactamente una vez, y cuando se convierte en triples ( a , b , c ) se vuelve idéntico al árbol descrito anteriormente.
Un arbol diferente
Alternativamente, también se pueden usar 3 matrices diferentes encontradas por Price. [6] Estas matrices A ', B', C ' y sus correspondientes transformaciones lineales se muestran a continuación.
Las tres transformaciones lineales de Price son
Los 3 hijos producidos por cada uno de los dos conjuntos de matrices no son iguales, pero cada conjunto produce por separado todos los triples primitivos.
Por ejemplo, usando [5, 12, 13] como padre, obtenemos dos conjuntos de tres hijos:
notas y referencias
- ↑ B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (en sueco), Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi 17 (1934), 129-139. Consulte la página 6 para ver el árbol enraizado.
- ^ Barning, FJM (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (en holandés), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151
- ^ A. Hall, "Genealogía de las tríadas pitagóricas", The Mathematical Gazette , volumen 54, número 390, diciembre de 1970, páginas 377–9.
- ^ Kanga, AR, "El árbol genealógico de las triples pitagóricas", Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones 26, enero / febrero de 1990, 15-17.
- ^ VE Firstov, "Un semigrupo de transformación de matriz especial de pares primitivos y la genealogía de triples pitagóricas", Notas matemáticas, volumen 84, número 2, agosto de 2008, páginas 263-279, ruso; http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=4074&option_lang=eng
- ↑ a b Price, H. Lee (2008). "El árbol pitagórico: una nueva especie". arXiv : 0809.4324 .
- ^ Mitchell, Douglas W., "Comentarios sobre 92.60", Mathematical Gazette 93, julio de 2009, 358-9.
- ^ Saunders, Robert A .; Randall, Trevor (julio de 1994), "El árbol genealógico de los trillizos pitagóricos revisitado", Mathematical Gazette , 78 : 190-193, JSTOR 3618576.
- ^ Mitchell, Douglas W., "Una caracterización alternativa de todas las triples pitagóricas primitivas", Mathematical Gazette 85, julio de 2001, 273-275.
enlaces externos
- Los árboles trinarios subyacentes a las Triples pitagóricas primitivas al cortar el nudo
- Frank R. Bernhart y H. Lee Price, "El jardín de Pitágoras, revisitado", Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26 (1): 29-40. [1]
- Weisstein, Eric W. "Triple pitagórico" . MathWorld .