En el campo matemático de la geometría algebraica , una curva elíptica E sobre un campo K tiene un giro cuadrático asociado , es decir, otra curva elíptica que es isomorfa a E sobre un cierre algebraico de K. En particular, un isomorfismo entre curvas elípticas es una isogenia de grado 1, que es una isogenia invertible. Algunas curvas tienen giros de orden superior, como giros cúbicos y cuárticos . La curva y sus giros tienen el mismo invariante j .
Giro cuadrático
Primero suponga que K es un campo de característica diferente de 2. Sea E una curva elíptica sobre K de la forma:
Dado ni un cuadrado en , el giro cuadrático de es la curva , definido por la ecuación:
o equivalente
Las dos curvas elípticas y no son isomorfos sobre , sino más bien sobre la extensión del campo .
Ahora suponga que K tiene la característica 2. Sea E una curva elíptica sobre K de la forma:
Dado tal que es un polinomio irreducible sobre K, el giro cuadrático de E es la curva E d , definida por la ecuación:
Las dos curvas elípticas y no son isomorfos sobre , pero sobre la extensión del campo .
Giro cuadrático sobre campos finitos
Si es un campo finito con elementos, entonces para todos existe un tal que el punto pertenece a cualquiera o . De hecho, si está en solo una de las curvas, hay exactamente otra en esa misma curva (lo que puede suceder si la característica no es ).
Como consecuencia, o equivalente
dónde es el rastro del endomorfismo de Frobenius de la curva.
Giro cuartico
Es posible "torcer" curvas elípticas con j-invariante igual a 1728 por caracteres cuárticos; torciendo una curva E mediante un giro cuártico , se obtienen exactamente cuatro curvas: una es isomorfa a E, una es su giro cuadrático y solo las otras dos son realmente nuevas. También en este caso, las curvas torcidas son isomorfas sobre la extensión del campo dada por el grado de torsión.
Giro cúbico
De forma análoga a la caja de torsión cuártica, una curva elíptica sobre con j-invariante igual a cero se puede torcer con caracteres cúbicos. Las curvas obtenidas son isomorfas a la curva inicial sobre la extensión del campo dada por el grado de torsión.
Ejemplos de
Referencias
- P. Stevenhagen (2008). Curvas elípticas (PDF) . Universiteit Leiden.
- F. Gouvea, B. Mazur (1991). El tamiz cuadrado libre y el rango de curvas elípticas (PDF) . Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas, Vol 4, Num 1.