Término en la teoría de la información cuántica
En la teoría de la información cuántica , la idea de un subespacio típico juega un papel importante en las demostraciones de muchos teoremas de codificación (el ejemplo más destacado es la compresión de Schumacher ). Su papel es análogo al del conjunto típico de la teoría clásica de la información .
Tipicidad cuántica incondicional Considere un operador de densidad con la siguiente descomposición espectral : ρ {\ Displaystyle \ rho}
ρ = ∑ X pag X ( X ) | X ⟩ ⟨ X | . {\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {x} p_ {X} (x) \ vert x \ rangle \ langle x \ vert.} El subespacio débilmente típico se define como el intervalo de todos los vectores de modo que la entropía muestral de su etiqueta clásica esté cerca de la verdadera entropía de la distribución : H ¯ ( X norte ) {\ Displaystyle {\ overline {H}} (x ^ {n})} H ( X ) {\ Displaystyle H (X)} pag X ( X ) {\ Displaystyle p_ {X} (x)}
T δ X norte ≡ lapso { | X norte ⟩ : | H ¯ ( X norte ) - H ( X ) | ≤ δ } , {\ Displaystyle T _ {\ delta} ^ {X ^ {n}} \ equiv {\ text {span}} \ left \ {\ left \ vert x ^ {n} \ right \ rangle: \ left \ vert {\ overline {H}} (x ^ {n}) - H (X) \ right \ vert \ leq \ delta \ right \},} donde
H ¯ ( X norte ) ≡ - 1 norte Iniciar sesión ( pag X norte ( X norte ) ) , {\ Displaystyle {\ overline {H}} (x ^ {n}) \ equiv - {\ frac {1} {n}} \ log (p_ {X ^ {n}} (x ^ {n})), } H ( X ) ≡ - ∑ X pag X ( X ) Iniciar sesión pag X ( X ) . {\ Displaystyle H (X) \ equiv - \ sum _ {x} p_ {X} (x) \ log p_ {X} (x).} El proyector en el subespacio típico de se define como Π ρ , δ norte {\ Displaystyle \ Pi _ {\ rho, \ delta} ^ {n}} ρ {\ Displaystyle \ rho}
Π ρ , δ norte ≡ ∑ X norte ∈ T δ X norte | X norte ⟩ ⟨ X norte | , {\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\equiv \sum _{x^{n}\in T_{\delta }^{X^{n}}}\vert x^{n}\rangle \langle x^{n}\vert ,} donde hemos "sobrecargado" el símbolo para referirnos también al conjunto de secuencias típicas: T δ X n {\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}} δ {\displaystyle \delta }
T δ X n ≡ { x n : | H ¯ ( x n ) − H ( X ) | ≤ δ } . {\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}\equiv \left\{x^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(x^{n}\right)-H(X)\right\vert \leq \delta \right\}.} Las tres propiedades importantes del proyector típico son las siguientes:
Tr { Π ρ , δ n ρ ⊗ n } ≥ 1 − ϵ , {\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}\geq 1-\epsilon ,} Tr { Π ρ , δ n } ≤ 2 n [ H ( X ) + δ ] , {\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\leq 2^{n\left[H\left(X\right)+\delta \right]},} 2 − n [ H ( X ) + δ ] Π ρ , δ n ≤ Π ρ , δ n ρ ⊗ n Π ρ , δ n ≤ 2 − n [ H ( X ) − δ ] Π ρ , δ n , {\displaystyle 2^{-n\left[H(X)+\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq 2^{-n\left[H(X)-\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n},} donde la primera propiedad es arbitraria y suficientemente grande . ϵ , δ > 0 {\displaystyle \epsilon ,\delta >0} n {\displaystyle n}
Tipicidad cuántica condicional Considere un conjunto de estados. Supongamos que cada estado tiene la siguiente descomposición espectral : { p X ( x ) , ρ x } x ∈ X {\displaystyle \left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}_{x\in {\mathcal {X}}}} ρ x {\displaystyle \rho _{x}}
ρ x = ∑ y p Y | X ( y | x ) | y x ⟩ ⟨ y x | . {\displaystyle \rho _{x}=\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\vert y_{x}\rangle \langle y_{x}\vert .} Considere un operador de densidad que está condicionado a una secuencia clásica : ρ x n {\displaystyle \rho _{x^{n}}} x n ≡ x 1 ⋯ x n {\displaystyle x^{n}\equiv x_{1}\cdots x_{n}}
ρ x n ≡ ρ x 1 ⊗ ⋯ ⊗ ρ x n . {\displaystyle \rho _{x^{n}}\equiv \rho _{x_{1}}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}}.} Definimos el subespacio condicionalmente típico débil como el intervalo de vectores (condicionado a la secuencia ) de modo que la entropía condicional muestral de sus etiquetas clásicas está cerca de la entropía condicional verdadera de la distribución : x n {\displaystyle x^{n}} H ¯ ( y n | x n ) {\displaystyle {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})} H ( Y | X ) {\displaystyle H(Y|X)} p Y | X ( y | x ) p X ( x ) {\displaystyle p_{Y|X}(y|x)p_{X}(x)}
T δ Y n | x n ≡ span { | y x n n ⟩ : | H ¯ ( y n | x n ) − H ( Y | X ) | ≤ δ } , {\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert y_{x^{n}}^{n}\right\rangle :\left\vert {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\},} donde
H ¯ ( y n | x n ) ≡ − 1 n log ( p Y n | X n ( y n | x n ) ) , {\displaystyle {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log \left(p_{Y^{n}|X^{n}}(y^{n}|x^{n})\right),} H ( Y | X ) ≡ − ∑ x p X ( x ) ∑ y p Y | X ( y | x ) log p Y | X ( y | x ) . {\displaystyle H(Y|X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\log p_{Y|X}(y|x).} El proyector en el subespacio débil condicionalmente típico de es el siguiente: Π ρ x n , δ {\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }} ρ x n {\displaystyle \rho _{x^{n}}}
Π ρ x n , δ ≡ ∑ y n ∈ T δ Y n | x n | y x n n ⟩ ⟨ y x n n | , {\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\equiv \sum _{y^{n}\in T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}}\vert y_{x^{n}}^{n}\rangle \langle y_{x^{n}}^{n}\vert ,} donde hemos sobrecargado nuevamente el símbolo para referirnos al conjunto de secuencias condicionalmente típicas débiles: T δ Y n | x n {\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}}
T δ Y n | x n ≡ { y n : | H ¯ ( y n | x n ) − H ( Y | X ) | ≤ δ } . {\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv \left\{y^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(y^{n}|x^{n}\right)-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\}.} Las tres propiedades importantes del proyector débil condicionalmente típico son las siguientes:
E X n { Tr { Π ρ X n , δ ρ X n } } ≥ 1 − ϵ , {\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon ,} Tr { Π ρ x n , δ } ≤ 2 n [ H ( Y | X ) + δ ] , {\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\right\}\leq 2^{n\left[H(Y|X)+\delta \right]},} 2 − n [ H ( Y | X ) + δ ] Π ρ x n , δ ≤ Π ρ x n , δ ρ x n Π ρ x n , δ ≤ 2 − n [ H ( Y | X ) − δ ] Π ρ x n , δ , {\displaystyle 2^{-n\left[H(Y|X)+\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\ \rho _{x^{n}}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq 2^{-n\left[H(Y|X)-\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta },} donde la primera propiedad es arbitraria y suficientemente grande , y la expectativa es con respecto a la distribución . ϵ , δ > 0 {\displaystyle \epsilon ,\delta >0} n {\displaystyle n} p X n ( x n ) {\displaystyle p_{X^{n}}(x^{n})}
Ver también Referencias
![{\ Displaystyle {\ text {Tr}} \ left \ {\ Pi _ {\ rho, \ delta} ^ {n} \ right \} \ leq 2 ^ {n \ left [H \ left (X \ right) + \ delta \ right]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864bd5e94f81b15d982984fc6e9aa20c04d0189d)
![{\ Displaystyle 2 ^ {- n \ left [H (X) + \ delta \ right]} \ Pi _ {\ rho, \ delta} ^ {n} \ leq \ Pi _ {\ rho, \ delta} ^ { n} \ rho ^ {\ otimes n} \ Pi _ {\ rho, \ delta} ^ {n} \ leq 2 ^ {- n \ left [H (X) - \ delta \ right]} \ Pi _ {\ rho, \ delta} ^ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16d3babe738beb2f123c0b834f5a637533d741b)
![{\ Displaystyle {\ text {Tr}} \ left \ {\ Pi _ {\ rho _ {x ^ {n}}, \ delta} \ right \} \ leq 2 ^ {n \ left [H (Y | X ) + \ delta \ right]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bc9d957f7d82849319d4190401b14a6df3e922)
![{\ Displaystyle 2 ^ {- n \ left [H (Y | X) + \ delta \ right]} \ \ Pi _ {\ rho _ {x ^ {n}}, \ delta} \ leq \ Pi _ {\ rho _ {x ^ {n}}, \ delta} \ \ rho _ {x ^ {n}} \ \ Pi _ {\ rho _ {x ^ {n}}, \ delta} \ leq 2 ^ {- n \ left [H (Y | X) - \ delta \ right]} \ \ Pi _ {\ rho _ {x ^ {n}}, \ delta},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56415b84f37564e580bab166e7c01e547f06a9af)
