El espectro de un operador lineal que opera en un espacio de Banach (un concepto fundamental del análisis funcional ) consta de todos los escalares tal que el operador no tiene un inverso acotado en. El espectro tiene una descomposición estándar en tres partes:
- un espectro de puntos , que consta de los valores propios de;
- un espectro continuo , que consta de los escalares que no son valores propios pero hacen el rango deun subconjunto denso adecuado del espacio;
- un espectro residual , que consta de todos los demás escalares del espectro.
Esta descomposición es relevante para el estudio de ecuaciones diferenciales y tiene aplicaciones en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería. Un ejemplo bien conocido de la mecánica cuántica es la explicación de las líneas espectrales discretas y la banda continua en la luz emitida por átomos de hidrógeno excitados .
Descomposición en espectro puntual, espectro continuo y espectro residual
Para operadores espaciales limitados de Banach
Sea X un espacio de Banach , B ( X ) la familia de operadores acotados en X y T ∈ B ( X ). Por definición , un número complejo λ está en el espectro de T , denotado σ ( T ), si T - λ no tiene una inversa en B ( X ).
Si T - λ es uno a uno y sobre , es decir , biyectiva , entonces su inverso está acotado; esto se sigue directamente del teorema de mapeo abierto del análisis funcional. Entonces, λ está en el espectro de T si y solo si T - λ no es uno a uno o no está en. Se distinguen tres casos separados:
- T - λ no es inyectable . Es decir, existen dos elementos distintos x , y en X tales que ( T - λ ) ( x ) = ( T - λ ) ( y ). Entonces z = x - y es un vector distinto de cero tal que T ( z ) = λz . En otras palabras, λ es un valor propio de T en el sentido de álgebra lineal . En este caso, se dice que λ está en el espectro de puntos de T , denotado σ p ( T ).
- T - λ es inyectivo y su rango es un subconjunto denso R de X ; pero no es la totalidad de la X . En otras palabras, existe algún elemento x en X tal que ( T - λ ) ( y ) puede estar tan cerca de x como se desee, con y en X ; pero nunca es igual ax . Se puede demostrar que, en este caso, T - λ no está delimitado por debajo (es decir, envía elementos de X muy separados y demasiado juntos). De manera equivalente, el inverso lineal operador ( T - λ ) -1 , que se define en el subconjunto denso R , no es un operador acotado, y por lo tanto no se puede extender a la totalidad de X . Entonces λ se dice que es en el espectro continuo , σ c ( T ), de T .
- T - λ es inyectable pero no tiene un rango denso. Esto es, hay algún elemento x en X y una zona N de x tal que ( T - λ ) ( Y ) nunca está en N . En este caso, el mapa ( T - λ ) -1 x → x puede estar delimitado o ilimitada, pero en cualquier caso no admitir una extensión única de un mapa lineal delimitada en todos X . Entonces se dice que λ está en el espectro residual de T , σ r ( T ).
Entonces σ ( T ) es la unión disjunta de estos tres conjuntos,
Para operadores ilimitados
El espectro de un operador ilimitado se puede dividir en tres partes de la misma manera que en el caso acotado, pero debido a que el operador no está definido en todas partes, las definiciones de dominio, inverso, etc. son más complicadas.
Ejemplos de
Operador de multiplicación
Dado un espacio de medida σ-finito ( S , Σ , μ ), considere el espacio de Banach L p ( μ ) . Una función h : S → C se llama esencialmente acotada si h está acotada μ, casi en todas partes. Una h esencialmente acotada induce un operador de multiplicación acotado T h en L p ( μ ):
La norma del operador de T es el supremo esencial de h . El rango esencial de h se define de la siguiente manera: un número complejo λ está en el rango esencial de h si para todo ε > 0, la preimagen de la bola abierta B ε ( λ ) bajo h tiene medida estrictamente positiva. Primero mostraremos que σ ( T h ) coincide con el rango esencial de hy luego examinaremos sus diversas partes.
Si λ no está en el rango esencial de h , tome ε > 0 tal que h −1 ( B ε ( λ )) tenga medida cero. La función g ( s ) = 1 / ( h ( s ) - λ ) está limitada casi en todas partes por 1 / ε . El operador de multiplicación T g satisface T g · ( T h - λ ) = ( T h - λ ) · T g = I . Entonces λ no se encuentra en el espectro de T h . Por otro lado, si λ se encuentra en el rango esencial de h , considere la secuencia de conjuntos { S n = h −1 ( B 1 / n ( λ ))}. Cada S n tiene medida positiva. Sea f n la función característica de S n . Podemos calcular directamente
Esto muestra que T h - λ no está acotado por debajo, por lo tanto, no es invertible.
Si λ es tal que μ ( h −1 ({ λ }))> 0, entonces λ se encuentra en el espectro de puntos de T h como sigue. Sea f la función característica del conjunto medible h −1 ( λ ), entonces al considerar dos casos, encontramos
entonces λ es un valor propio de T h .
Cualquier λ en el rango esencial de h que no tenga una preimagen de medida positiva está en el espectro continuo de T h . Para mostrar esto, debemos demostrar que T h - λ tiene un rango denso. Dado f ∈ L p ( μ ), nuevamente consideramos la secuencia de conjuntos { S n = h −1 ( B 1 / n ( λ ))}. Sea g n la función característica de S - S n . Definir
El cálculo directo muestra que f n ∈ L p ( μ ), con. Luego, por el teorema de convergencia dominado ,
en la norma L p ( μ ).
Por tanto, los operadores de multiplicación no tienen espectro residual. En particular, según el teorema espectral , los operadores normales en un espacio de Hilbert no tienen espectro residual.
Turnos
En el caso especial en el que S es el conjunto de números naturales y μ es la medida de conteo, el L p ( μ ) correspondiente se denota por l p . Este espacio consta de secuencias de valores complejos { x n } tales que
Para 1 < p <∞, l p es reflexivo . Defina el desplazamiento a la izquierda T : l p → l p por
T es una isometría parcial con norma de operador 1. Entonces σ ( T ) se encuentra en el disco unitario cerrado del plano complejo.
T * es el desplazamiento a la derecha (o desplazamiento unilateral ), que es una isometría en l q , donde 1 / p + 1 / q = 1:
Para λ ∈ C con | λ | <1,
y T x = λ x . En consecuencia, el espectro de puntos de T contiene el disco unitario abierto. Ahora, T * no tiene valores propios, es decir, σ p ( T * ) está vacío. Por lo tanto, invocando la reflexividad y el teorema dado anteriormente (que σ p ( T ) ⊂ σ r ( T *) ∪ σ p ( T *)), podemos deducir que el disco unitario abierto se encuentra en el espectro residual de T * .
El espectro de un operador acotado es cerrado, lo que implica el círculo unitario, {| λ | = 1} ⊂ C , está en σ ( T ). De nuevo por la reflexividad de l p y el teorema dado anteriormente (esta vez, que σ r ( T ) ⊂ σ p ( T *)), tenemos que σ r ( T ) también está vacío. Por lo tanto, para un número complejo λ con norma unitaria, uno debe tener λ ∈ σ p ( T ) o λ ∈ σ c ( T ). Ahora si | λ | = 1 y
luego
que no puede estar en l p , una contradicción. Esto significa que el círculo unidad debe estar en el espectro continuo de T .
Entonces, para el desplazamiento a la izquierda T , σ p ( T ) es el disco unitario abierto y σ c ( T ) es el círculo unitario, mientras que para el desplazamiento a la derecha T * , σ r ( T * ) es el disco unitario abierto y σ c ( T * ) es el círculo unitario.
Para p = 1, se puede realizar un análisis similar. Los resultados no serán exactamente los mismos, ya que la reflexividad ya no se mantiene.
Operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert
Los espacios de Hilbert son espacios de Banach, por lo que la discusión anterior también se aplica a los operadores acotados en los espacios de Hilbert. Un punto sutil se refiere al espectro de T *. Para un espacio de Banach, T * denota la transposición y σ ( T * ) = σ ( T ). Para un espacio de Hilbert, T * normalmente denota el adjunto de un operador T ∈ B ( H ), no la transposición, y σ ( T * ) no es σ ( T ) sino su imagen bajo una conjugación compleja.
Para un autoadjunto T ∈ B ( H ), el cálculo funcional de Borel brinda formas adicionales de dividir el espectro de forma natural.
Cálculo funcional Borel
Esta subsección esboza brevemente el desarrollo de este cálculo. La idea es establecer primero el cálculo funcional continuo y luego pasar a funciones medibles a través del teorema de representación de Riesz-Markov . Para el cálculo funcional continuo, los ingredientes clave son los siguientes:
- 1. Si T es autoadjunto, entonces para cualquier polinomio P , la norma del operador satisface
- 2. El teorema de Stone-Weierstrass , que implica que la familia de polinomios (con coeficientes complejos), es densa en C ( σ ( T )), las funciones continuas en σ ( T ).
La familia C ( σ ( T )) es un álgebra de Banach cuando está dotada de la norma uniforme. Entonces el mapeo
es un homomorfismo isométrico de un subconjunto denso de C ( σ ( T )) a B ( H ). Al extender el mapeo por continuidad se obtiene f ( T ) para f ∈ C ( σ ( T )): sean P n polinomios tales que P n → f uniformemente y defina f ( T ) = lim P n ( T ). Este es el cálculo funcional continuo.
Para una h ∈ H fija , notamos que
es un funcional lineal positivo en C ( σ ( T )). De acuerdo con el teorema de representación de Riesz-Markov, existe una medida única μ h en σ ( T ) tal que
Esta medida a veces se denomina medida espectral asociada a h . Las medidas espectrales se pueden utilizar para extender el cálculo funcional continuo a funciones de Borel acotadas. Para una función acotada g que sea medible por Borel, defina, para una propuesta g ( T )
A través de la identidad de polarización , se puede recuperar (ya que se supone que H es complejo)
y por lo tanto g ( T ) h para h arbitraria .
En el contexto actual, las medidas espectrales, combinadas con un resultado de la teoría de medidas, dan una descomposición de σ ( T ).
Descomposición en un punto absolutamente continuo, singular continuo y puro
Deje h ∈ H y μ h ser su medida espectral correspondiente en σ ( T ) ⊂ R . Según un refinamiento del teorema de descomposición de Lebesgue , μ h se puede descomponer en tres partes mutuamente singulares:
donde μ ac es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue, μ sc es singular con respecto a la medida de Lebesgue y sin átomos, y μ pp es una medida puntual pura. [1]
Los tres tipos de medidas son invariantes en operaciones lineales. Sea H ac el subespacio formado por vectores cuyas medidas espectrales son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue . Defina H pp y H sc de forma análoga. Estos subespacios son invariantes bajo T . Por ejemplo, si h ∈ H ac y k = T h . Sea χ la función característica de algún conjunto de Borel en σ ( T ), entonces
Entonces
y k ∈ H ac . Además, la aplicación del teorema espectral da
Esto conduce a las siguientes definiciones:
- El espectro de T restringido a H ac se denomina espectro absolutamente continuo de T , σ ac ( T ).
- El espectro de T restringido a H sc se denomina espectro singular , σ sc ( T ).
- El conjunto de valores propios de T se denomina espectro de puntos puro de T , σ pp ( T ).
El cierre de los valores propios es el espectro de T restringido a H pp . Entonces
Comparación
Un operador autoadjunto delimitado en el espacio de Hilbert es, a fortiori, un operador delimitado en un espacio de Banach. Por lo tanto, también se puede aplicar a T la descomposición del espectro que se logró anteriormente para operadores acotados en un espacio de Banach. A diferencia de la formulación del espacio de Banach, [se necesita aclaración ] el sindicato
no es necesario que esté desarticulado. Es disjunto cuando el operador T es de multiplicidad uniforme, digamos m , es decir, si T es unitariamente equivalente a la multiplicación por λ en la suma directa
para algunas medidas de Borel . Cuando aparece más de una medida en la expresión anterior, vemos que es posible que la unión de los tres tipos de espectros no sea disjunta. Si λ ∈ σ ac ( T ) ∩ σ pp ( T ), λ a veces se denomina valor propio incrustado en el espectro absolutamente continuo.
Cuando T es unitariamente equivalente a la multiplicación por λ en
la descomposición de σ ( T ) del cálculo funcional de Borel es un refinamiento del caso espacial de Banach.
Física
Los comentarios anteriores pueden extenderse a los operadores autoadjuntos ilimitados, ya que Riesz-Markov es válido para espacios de Hausdorff localmente compactos .
En mecánica cuántica , los observables son operadores autoadjuntos , a menudo no limitados, y sus espectros son los posibles resultados de las mediciones. El espectro absolutamente continuo de un observable físico corresponde a los estados libres de un sistema, mientras que el espectro de puntos puro corresponde a los estados ligados . El espectro singular corresponde a resultados físicamente imposibles. Un ejemplo de un observable mecánico cuántico que tiene un espectro puramente continuo es el operador de posición de una partícula libre que se mueve sobre una línea. Su espectro es toda la línea real. Además, dado que el operador de impulso es unitariamente equivalente al operador de posición, a través de la transformada de Fourier , tienen el mismo espectro.
La intuición puede inducir a uno a decir que la discreción del espectro está íntimamente relacionada con los estados correspondientes que están "localizados". Sin embargo, un análisis matemático cuidadoso muestra que esto no es cierto. La siguiente es un elemento de y aumentando a medida que .
Sin embargo, los fenómenos de localización de Anderson y localización dinámica describen, cuando las funciones propias se localizan en un sentido físico. La localización de Anderson significa que las funciones propias decaen exponencialmente a medida que. La localización dinámica es más sutil de definir.
A veces, al realizar cálculos físicos de mecánica cuántica, uno se encuentra con "vectores propios" que no se encuentran en L 2 ( R ), es decir, funciones de onda que no están localizadas. Estos son los estados libres del sistema. Como se indicó anteriormente, en la formulación matemática, los estados libres corresponden al espectro absolutamente continuo. Alternativamente, si se insiste en que la noción de autovectores y autovalores sobrevive al paso a lo riguroso, se pueden considerar operadores en espacios de Hilbert manipulados .
Durante algún tiempo se creyó que el espectro singular es algo artificial. Sin embargo, ejemplos como el operador casi Mathieu y los operadores aleatorios de Schrödinger han demostrado que todos los tipos de espectros surgen naturalmente en la física.
Descomposición en espectro esencial y espectro discreto
Dejar ser un operador cerrado definido en el dominio que es denso en X . Entonces hay una descomposición del espectro de A en una unión disjunta ,
dónde
- es el quinto tipo del espectro esencial de A (si A es un operador autoadjunto , entonces para todos );
- es el espectro discreto de A , que consta de valores propios normales o, de manera equivalente, de puntos aislados dede manera que el correspondiente proyector de Riesz tiene un rango finito.
Ver también
- Espectro de puntos , el conjunto de valores propios.
- Espectro esencial , espectro de perturbaciones de módulo compacto de un operador.
- Espectro discreto (matemáticas) , el conjunto de valores propios normales .
- Espectro de puntos aproximado
- Teoría espectral de las C * -álgebras normales
Referencias
- ^ Bogachev, Vladimir (2007). Medir el volumen de la teoría 1 . Saltador. pag. 344.
- N. Dunford y JT Schwartz, Operadores lineales, Parte I: Teoría general , Interscience, 1958.
- M. Reed y B. Simon, Métodos de Física Matemática Moderna I: Análisis Funcional , Academic Press, 1972.