En geometría y álgebra , un número real es construible si y solo si, dado un segmento de línea de longitud unitaria, un segmento de línea de longitudse puede construir con compás y regla en un número finito de pasos. Equivalentemente,es construible si y solo si hay una expresión de forma cerrada para usando solo los números enteros 0 y 1 y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas.
La definición geométrica de números construibles motiva una definición correspondiente de puntos construibles , que nuevamente se pueden describir geométricamente o algebraicamente. Un punto es construible si se puede producir (como un punto final de un segmento de línea o punto de cruce de dos líneas o círculos) como uno de los puntos de una construcción de brújula y regla, a partir de un segmento de longitud unitario dado. Alternativamente y de manera equivalente, tomando los dos puntos finales de los segmentos como los puntos (0,0) y (1,0) de un sistema de coordenadas cartesianas , un punto es construible si y solo si sus coordenadas cartesianas son ambos números construibles. [1] número construible y puntos también se han llamado regla y números de compás y regla y puntos de la brújula , para distinguirlos de los números y puntos que pueden construirse utilizando otros procesos. [2]
El conjunto de números construibles forma un campo : la aplicación de cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas básicas a los miembros de este conjunto produce otro número construible. Este campo es una extensión de campo de los números racionales y, a su vez, está contenido en el campo de los números algebraicos . Es el cierre euclidiano de los números racionales , la extensión de campo más pequeña de los racionales que incluye las raíces cuadradas de todos sus números positivos. [3]
La prueba de la equivalencia entre las definiciones algebraicas y geométricas de números construibles tiene el efecto de transformar preguntas geométricas sobre construcciones con compás y regla en álgebra . Esta transformación conduce a la solución de muchos problemas matemáticos famosos, que desafiaron siglos de ataque.
Definiciones geométricas
Puntos geométricamente construibles
Dejar y ser dos puntos distintos dados en el plano euclidiano , y definir ser el conjunto de puntos que se pueden construir con brújula y regla comenzando con y . Entonces los puntos dese llaman puntos construibles . y son, por definición, elementos de . Para describir con mayor precisión los elementos restantes de, realice las dos definiciones siguientes: [4]
- un segmento de línea cuyos extremos están en se llama segmento construido , y
- un círculo cuyo centro está en y que pasa por un punto de (alternativamente, cuyo radio es la distancia entre un par de puntos distintos de ) se llama círculo construido .
Entonces, los puntos de , además y son: [4] [5]
- la intersección de dos segmentos construidos no paralelos, o líneas a través de segmentos construidos,
- los puntos de intersección de un círculo construido y un segmento construido, o línea a través de un segmento construido, o
- los puntos de intersección de dos círculos construidos distintos.
Como ejemplo, el punto medio del segmento construido es un punto constructible. Una construcción para ello es construir dos círculos concomo radio, y la línea que pasa por los dos puntos de cruce de estos dos círculos. Entonces el punto medio del segmento es el punto donde este segmento es atravesado por la línea construida.
Números geométricamente construibles
Esta formulación geométrica se puede utilizar para definir un sistema de coordenadas cartesianas en el que el punto está asociado al origen que tiene coordenadas y en el que el punto está asociado con las coordenadas . Los puntos deahora se puede usar para vincular la geometría y el álgebra definiendo un número construible como una coordenada de un punto construible. [6]
Las definiciones equivalentes son que un número construible es el -coordinado de un punto construible [5] o la longitud de un segmento de línea construible. [7] Si un número construible se representa como el-coordinado de un punto construible , luego el segmento de a la proyección perpendicular de en línea es un segmento de línea construible con longitud . Y a la inversa, si es la longitud de un segmento de línea construible, luego la intersección de la línea y un círculo centrado en con radio igual a la longitud de este segmento da un punto cuya primera coordenada cartesiana es .
Dados dos números construibles cualesquiera y , se pueden construir los puntos y como arriba, como los puntos a distancias y de una larga linea y su eje perpendicular a través . Entonces, el punto se puede construir como la intersección de dos líneas perpendiculares a los ejes a través de y . Por lo tanto, los puntos construibles son exactamente los puntos cuyas coordenadas cartesianas son números construibles. [8]
Definiciones algebraicas
Números construibles algebraicamente
Los números reales algebraicamente construibles se pueden definir como el subconjunto de números reales que se pueden definir mediante una fórmula utilizando los números 0 y 1 (o sin mayor generalidad pero con fórmulas más concisas, enteros arbitrarios) y las operaciones de suma, resta, multiplicación, multiplicativa inversa y raíces cuadradas de números positivos. [9]
De manera análoga, los números complejos algebraicamente construibles pueden definirse como el subconjunto de números complejos construidos de la misma manera pero utilizando la raíz cuadrada principal de números complejos arbitrarios en lugar de la raíz cuadrada de números reales positivos. Alternativamente, el mismo sistema de números complejos puede definirse como los números complejos cuyas partes real e imaginaria son ambos números reales construibles. [10]
Estas dos definiciones de los números complejos construibles son equivalentes. En una dirección, si es un número complejo cuya parte real y parte imaginaria son ambos números reales construibles, luego sustituyendo las fórmulas por y en la fórmula y sustituyendo por , produce una fórmula para como un número complejo. En la otra dirección, cualquier fórmula para un número complejo algebraicamente construible se puede transformar en fórmulas para sus partes real e imaginaria, expandiendo recursivamente cada operación en la fórmula en operaciones sobre las partes real e imaginaria de sus argumentos, usando las expansiones
- , dónde y .
Puntos algebraicamente construibles
Los puntos algebraicamente construibles se pueden definir como los puntos cuyas dos coordenadas cartesianas reales son ambos números reales algebraicamente construibles. Alternativamente, pueden definirse como los puntos en el plano complejo dados por números complejos construibles algebraicamente. Por la equivalencia entre las dos definiciones de números complejos algebraicamente construibles, estas dos definiciones de puntos algebraicamente construibles también son equivalentes.
Equivalencia de definiciones algebraicas y geométricas
Si y son las longitudes distintas de cero de los segmentos construidos, entonces se pueden usar construcciones elementales de compás y regla para obtener segmentos construidos de longitudes , , , y . Los dos últimos se pueden hacer con una construcción basada en el teorema de la intersección . Una construcción ligeramente menos elemental que utiliza estas herramientas se basa en el teorema de la media geométrica y construirá un segmento de longitud. de un segmento construido de longitud . [11]
De estas construcciones se deduce que todo número algebraicamente construible es geométricamente construible.
En la otra dirección, un conjunto de objetos geométricos puede especificarse mediante números reales construibles algebraicamente: coordenadas para puntos, pendiente y -intercepción para líneas y centro y radio para círculos. Es posible (pero tedioso) desarrollar fórmulas en términos de estos valores, usando solo aritmética y raíces cuadradas, para cada objeto adicional que pueda agregarse en un solo paso de una construcción de compás y regla. De estas fórmulas se sigue que todo número geométricamente construible es algebraicamente construible. [12]
Propiedades algebraicas
La definición de números algebraicamente construibles incluye la suma, la diferencia, el producto y el inverso multiplicativo de cualquiera de estos números, las mismas operaciones que definen un campo en el álgebra abstracta . Por lo tanto, los números constructivos (definidos en cualquiera de las formas anteriores) forman un campo. Más específicamente, los números reales constructivos forman un campo euclidiano , un campo ordenado que contiene una raíz cuadrada de cada uno de sus elementos positivos. [13] El examen de las propiedades de este campo y sus subcampos conduce a las condiciones necesarias para que un número sea construible, que se pueden utilizar para mostrar que los números específicos que surgen en los problemas de construcción geométrica clásica no son construibles.
Es conveniente considerar, en lugar de todo el campo de números construibles, el subcampo generado por cualquier número constructivo dado , y utilizar la construcción algebraica de para descomponer este campo. Si es un número real construible, entonces los valores que ocurren dentro de una fórmula que lo construye se pueden usar para producir una secuencia finita de números reales tal que, para cada , es una extensión dede grado 2. [14] Usando una terminología ligeramente diferente, un número real es construible si y solo si se encuentra en un campo en la parte superior de una torre finita de extensiones cuadráticas reales ,
comenzando con el campo racional dónde es en y para todos , . [15] De esta descomposición se deduce que el grado de extensión del campo es , dónde cuenta el número de pasos de extensión cuadráticos.
De manera análoga al caso real, un número complejo es construible si y solo si se encuentra en un campo en la parte superior de una torre finita de extensiones cuadráticas complejas. [16] Más precisamente, es construible si y solo si existe una torre de campos
dónde es en y para todos , . La diferencia entre esta caracterización y la de los números cuadráticos reales es solo que los campos de esta torre no se limitan a ser reales. En consecuencia, si un número complejo es construible, entonces es una potencia de dos. Sin embargo, esta condición necesaria no es suficiente: existen extensiones de campo cuyo grado es una potencia de dos que no se pueden factorizar en una secuencia de extensiones cuadráticas. [17]
Los campos que se pueden generar de esta manera a partir de torres de extensiones cuadráticas de se llaman extensiones cuadráticas iteradas de. Los campos de números construibles reales y complejos son las uniones de todas las extensiones cuadráticas iteradas reales o complejas de. [18]
Números trigonométricos
Los números trigonométricos son cosenos irracionales o senos de ángulos que son múltiplos racionales de. Tal número es construible si y solo si el denominador del múltiplo completamente reducido es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 con el producto de uno o más primos de Fermat distintos . Así, por ejemplo, es construible porque 15 es el producto de dos números primos de Fermat, 3 y 5.
Para obtener una lista de números trigonométricos expresados en términos de raíces cuadradas, consulte las constantes trigonométricas expresadas en radicales reales .
Construcciones imposibles
Los antiguos griegos pensaban que ciertos problemas de construcción de regla y compás que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. [19] Sin embargo, la no constructibilidad de ciertos números demuestra que son lógicamente imposibles de realizar. (Los problemas en sí mismos, sin embargo, se pueden resolver utilizando métodos que van más allá de la restricción de trabajar solo con regla y compás, y los griegos sabían cómo resolverlos de esta manera).
En la siguiente tabla, cada tabla representa un problema de construcción antiguo específico. La columna de la izquierda da el nombre del problema. La segunda columna da una formulación algebraica equivalente del problema. En otras palabras, la solución al problema es afirmativa si y solo si cada número en el conjunto dado de números es construible. Finalmente, la última columna proporciona un contraejemplo simple . En otras palabras, el número de la última columna es un elemento del conjunto en la misma fila, pero no se puede construir.
Problema de construcción | Conjunto de números asociado | Contraejemplo |
---|---|---|
Doblar el cubo | (la longitud de la arista de un cubo unitario duplicado ) no es construible, porque su polinomio mínimo tiene un grado 3 sobre Q [20] | |
Trisección del ángulo | (una de las coordenadas de un segmento de longitud unitaria que triseca un triángulo equilátero alineado con el eje ) no es construible, porquetiene un polinomio mínimo de grado 3 sobre Q [20] | |
Cuadrando el circulo | (la longitud del lado de un cuadrado con la misma área que un círculo unitario ) no es construible, porque no es algebraico sobre Q [20] | |
Construyendo polígonos regulares | (la coordenada x de un vértice de un heptágono regular alineado con el eje ) no es construible, porque 7 no es un número primo de Fermat , ni 7 es el producto dey uno o más números primos de Fermat distintos [21] |
Historia
El nacimiento del concepto de números construibles está indisolublemente ligado a la historia de las tres construcciones imposibles de compás y regla: duplicar el cubo, trisecar un ángulo y cuadrar el círculo. La restricción de usar solo brújula y regla en construcciones geométricas a menudo se le atribuye a Platón debido a un pasaje en Plutarco . Según Plutarco, Platón entregó la duplicación del problema del cubo (Deliano) a Eudoxo y Arquitas y Menaecmo , quienes resolvieron el problema con medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema usando geometría pura (Plut., Quaestiones convivales VIII .ii , 718ef). Sin embargo, esta atribución es cuestionada, [22] debido, en parte, a la existencia de otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalon ) que dice que los tres encontraron soluciones pero eran demasiado abstractas para ser de valor práctico. . [23] Dado que a Oenopides (alrededor de 450 a. C.) se le atribuyen dos construcciones de regla y compás, por Proclo - citando a Eudemus (alrededor de 370 - 300 a. C.) - cuando otros métodos estaban disponibles para él, ha llevado a algunos autores a plantear la hipótesis de que Oenopides originó el restricción.
La restricción al compás y la regla es esencial para hacer que estas construcciones sean imposibles. La trisección de ángulo, por ejemplo, se puede hacer de muchas formas, varias conocidas por los antiguos griegos. Se han utilizado la Quadratrix de Hippias de Elis , las cónicas de Menaechmus o la construcción de regla marcada ( neusis ) de Arquímedes , al igual que un enfoque más moderno a través del plegado de papel .
Aunque no es uno de los tres problemas clásicos de construcción, el problema de construir polígonos regulares con regla y compás generalmente se trata junto con ellos. Los griegos sabían cómo construir n -gones regulares con n = 2 h , 3, 5 (para cualquier entero h ≥ 2 ) o el producto de dos o tres de estos números, pero otros n -gones regulares los eludían. En 1796, Carl Friedrich Gauss , entonces un estudiante de dieciocho años, anunció en un periódico que había construido un 17 gon regular con regla y compás. [24] El tratamiento de Gauss fue más algebraico que geométrico; de hecho, en realidad no construyó el polígono, sino que mostró que el coseno de un ángulo central era un número construible. El argumento fue generalizado en su libro de 1801 Disquisitiones Arithmeticae dando la condición suficiente para la construcción de un n -gon regular . Gauss afirmó, pero no probó, que la condición también era necesaria y varios autores, en particular Felix Klein , [25] también le atribuyeron esta parte de la prueba. [26]
Pierre Wantzel ( 1837 ) demostró algebraicamente que los problemas de doblar el cubo y trisecar el ángulo son imposibles de resolver si se usa solo el compás y la regla no graduada. En el mismo artículo también resolvió el problema de determinar qué polígonos regulares son construibles: un polígono regular es construible si y solo si el número de sus lados es el producto de una potencia de dos y cualquier número de números primos de Fermat distintos (es decir, el también son necesarias condiciones suficientes dadas por Gauss)
James Gregory presentó un intento de prueba de la imposibilidad de cuadrar el círculo en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su demostración era defectuosa, fue el primer artículo en intentar resuelve el problema usando propiedades algebraicas de π . No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró rigurosamente su imposibilidad, ampliando la obra de Charles Hermite y demostrando que π es un número trascendental .
El estudio de los números construibles, per se, fue iniciado por René Descartes en La Géométrie , un apéndice de su libro Discurso sobre el método publicado en 1637. Descartes asoció números a segmentos geométricos de línea para mostrar el poder de su método filosófico resolviendo un antiguo problema de construcción de regla y compás propuesto por Pappus . [27]
Ver también
- Número computable
- Número real definible
Notas
- ^ Kazarinoff (2003) , págs. 10 y 15.
- ^ Martin (1998) , págs. 31-32.
- ^ Kazarinoff (2003) , p. 46.
- ↑ a b Kazarinoff (2003) , p. 10.
- ↑ a b Martin (1998) , Definición 2.1, págs. 30–31.
- ^ Kazarinoff (2003) , p. 18.
- ^ Herstein (1986) , p. 237.
- ^ Moise (1974) , p. 227; Martin (1998) , Teorema 2.4, pág. 33.
- ^ Martin (1998) , páginas = 36–37.
- ^ Roman (1995) , p. 207.
- ^ Herstein (1986) , págs. 236-237; Moise (1974) , pág. 224; Fraleigh (1994) , págs. 426–427.
- ↑ Martin (1998) , 38–39.
- ↑ Martin (1998) , Teorema 2.7, p. 35.
- ^ Fraleigh (1994) , p. 429.
- ^ Roman (1995) , p. 59.
- ^ Rotman (2006) , p. 361.
- ^ Rotman (2006) , p. 362.
- ↑ Martin (1998) , Teorema 2.10, p. 37.
- ^ Stewart (1989) , p. 51.
- ↑ a b c Fraleigh (1994) , págs. 429–430.
- ^ Fraleigh (1994) , p. 504.
- ^ Kazarinoff (2003) , p. 28.
- ^ Knorr (1986) , p. 4.
- ^ Kazarinoff (2003) , p. 29.
- ^ Klein (1956) , pág. dieciséis.
- ^ Kazarinoff (2003) , p. 30.
- ^ Boyer (2004) , págs. 83–88.
Referencias
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- Herstein, IN (1986), Álgebra abstracta , Macmillan, ISBN 0-02-353820-1
- Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round: Classic Problems in Geometric Constructions , Dover, ISBN 0-486-42515-0
- Klein, Felix (1956) [1930], Problemas famosos de geometría elemental , Dover
- Knorr, Wilbur Richard (1986), The Ancient Tradition of Geometric Problems , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, ISBN 9780486675329
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- Stewart, Ian (1989), Galois Theory (2a ed.), Chapman y Hall, ISBN 978-0-412-34550-0
- Wantzel, PL (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 (2): 366–372
enlaces externos
- Chris Cooper: Teoría de Galois . Notas de conferencias, Universidad Macquarie, §6 Constructabilidad de regla y brújula, págs. 55-63
- Weisstein, Eric W. , "Número construible" , MathWorld
- Números construibles al cortar el nudo