Convergencia absoluta uniforme
En matemáticas , la convergencia absoluta uniforme es un tipo de convergencia para series de funciones . Como la convergencia absoluta , tiene la útil propiedad de que se conserva cuando se cambia el orden de suma.
Una serie convergente de números a menudo se puede reordenar de tal manera que la nueva serie diverja. Sin embargo, esto no es posible para series de números no negativos, por lo que la noción de convergencia absoluta excluye este fenómeno. Cuando se trata de series de funciones uniformemente convergentes , ocurre el mismo fenómeno: la serie puede potencialmente reordenarse en una serie convergente no uniforme, o una serie que ni siquiera converge puntualmente. Esto es imposible para series de funciones no negativas, por lo que la noción de convergencia absoluta uniforme puede usarse para descartar estas posibilidades.
Dado un conjunto X y funciones (o cualquier espacio vectorial normado ), la serie
Una serie puede ser uniformemente convergente y absolutamente convergente sin ser uniforme absolutamente convergente. Por ejemplo, si ƒ n ( x ) = x n / n en el intervalo abierto (−1,0), entonces la serie Σ f n ( x ) converge uniformemente al comparar las sumas parciales con las de Σ (−1) n / n , y la serie Σ | f n ( x ) | converge absolutamente en cada punto por la prueba de la serie geométrica, pero Σ | f n ( x) | no converge uniformemente. Intuitivamente, esto se debe a que la convergencia absoluta se vuelve más y más lenta a medida que x se acerca a -1, donde la convergencia se mantiene pero la convergencia absoluta falla.
Si una serie de funciones es uniformemente absolutamente convergente en alguna vecindad de cada punto de un espacio topológico, es localmente uniforme absolutamente convergente . Si una serie es uniformemente absolutamente convergente en todos los subconjuntos compactos de un espacio topológico, es compacta (uniformemente) absolutamente convergente . Si el espacio topológico es localmente compacto , estas nociones son equivalentes.