En el campo matemático del análisis , la convergencia uniforme es un modo de convergencia de funciones más fuerte que la convergencia puntual . Una secuencia de funciones converge uniformemente a una función limitante en un set si, dado cualquier número positivo arbitrariamente pequeño , un número se puede encontrar de manera que cada una de las funciones difiere de por no más de en cada punto en . Descrito de manera informal, si converge a uniformemente, entonces la velocidad a la que enfoques es "uniforme" en todo su dominio en el siguiente sentido: para garantizar que cae dentro de una cierta distancia de , no necesitamos conocer el valor de en cuestión - se puede encontrar un valor único de independiente de , tal que eligiendo se asegurará de que está dentro de para todos . Por el contrario, la convergencia puntual de a simplemente garantiza que para cualquier dado de antemano, podemos encontrar ( puede depender del valor de ) para que, para ese particular , cae dentro de cuando sea .
La diferencia entre la convergencia uniforme y la convergencia puntual no se apreció completamente al principio de la historia del cálculo, lo que dio lugar a casos de razonamiento defectuoso. El concepto, que fue formalizado por primera vez por Karl Weierstrass , es importante porque varias propiedades de las funciones, como la continuidad , la integrabilidad de Riemann y, con hipótesis adicionales, la diferenciabilidad , se transfieren al límite si la convergencia es uniforme, pero no necesariamente si la convergencia no es uniforme.
Historia
En 1821, Augustin-Louis Cauchy publicó una prueba de que una suma convergente de funciones continuas es siempre continua, a la que Niels Henrik Abel en 1826 encontró supuestos contraejemplos en el contexto de las series de Fourier , argumentando que la prueba de Cauchy tenía que ser incorrecta. En ese momento no existían nociones completamente estándar de convergencia, y Cauchy manejó la convergencia utilizando métodos infinitesimales. Cuando se pone en el lenguaje moderno, lo que Cauchy demostró es que una secuencia uniformemente convergente de funciones continuas tiene un límite continuo. El hecho de que un límite de funciones continuas meramente convergente en un punto no converja en una función continua ilustra la importancia de distinguir entre diferentes tipos de convergencia cuando se manejan secuencias de funciones. [1]
El término convergencia uniforme fue probablemente utilizado por primera vez por Christoph Gudermann , en un artículo de 1838 sobre funciones elípticas , donde empleó la frase "convergencia de forma uniforme" cuando el "modo de convergencia" de una serie es independiente de las variables y Si bien pensó que era un "hecho notable" cuando una serie convergía de esta manera, no dio una definición formal, ni utilizó la propiedad en ninguna de sus pruebas. [2]
Posteriormente, el alumno de Gudermann, Karl Weierstrass , que asistió a su curso sobre funciones elípticas en 1839-1840, acuñó el término gleichmäßig konvergent ( alemán : uniformemente convergente ) que utilizó en su artículo de 1841 Zur Theorie der Potenzreihen , publicado en 1894. Independientemente, conceptos similares fueron articulado por Philipp Ludwig von Seidel [3] y George Gabriel Stokes . GH Hardy compara las tres definiciones en su artículo "Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme" y comenta: "El descubrimiento de Weierstrass fue el más temprano, y solo él se dio cuenta plenamente de su gran importancia como una de las ideas fundamentales del análisis".
Bajo la influencia de Weierstrass y Bernhard Riemann, este concepto y las cuestiones relacionadas fueron intensamente estudiados a finales del siglo XIX por Hermann Hankel , Paul du Bois-Reymond , Ulisse Dini , Cesare Arzelà y otros.
Definición
Primero definimos la convergencia uniforme para funciones de valor real , aunque el concepto se generaliza fácilmente a funciones que se asignan a espacios métricos y, de manera más general, a espacios uniformes (ver más abajo ).
Suponer es un conjunto yes una secuencia de funciones de valor real en él. Decimos la secuenciaes uniformemente convergente en con limite si por cada existe un número natural tal que para todos y
La notación para la convergencia uniforme de a no está del todo estandarizado y diferentes autores han utilizado una variedad de símbolos, que incluyen (en orden de popularidad aproximadamente decreciente):
Con frecuencia, no se utiliza ningún símbolo especial y los autores simplemente escriben
para indicar que la convergencia es uniforme. (En contraste, la expresión en sin un adverbio significa convergencia puntual en: para todos , como .)
Desde es un espacio métrico completo , el criterio de Cauchy se puede utilizar para dar una formulación alternativa equivalente para la convergencia uniforme: converge uniformemente en (en el sentido anterior) si y solo si para cada , existe un número natural tal que
- .
En otra formulación equivalente, si definimos
luego converge a uniformemente si y solo si como . Por tanto, podemos caracterizar la convergencia uniforme de en como (simple) convergencia de en el espacio funcional con respecto a la métrica uniforme (también llamada métrica superior), definida por
Simbólicamente,
- .
La secuencia se dice que es localmente uniformemente convergente con límite Si es un espacio métrico y para cada, existe un tal que converge uniformemente en Está claro que la convergencia uniforme implica una convergencia local uniforme, lo que implica una convergencia puntual.
Notas
Intuitivamente, una secuencia de funciones converge uniformemente a si, dado un arbitrario pequeño , podemos encontrar un para que las funciones con todos caen dentro de un "tubo" de ancho centrado alrededor (es decir, entre y ) para todo el dominio de la función.
Tenga en cuenta que intercambiar el orden de los cuantificadores en la definición de convergencia uniforme moviendo "para todos "delante de" existe un número natural "da como resultado una definición de convergencia puntual de la secuencia. Para hacer explícita esta diferencia, en el caso de la convergencia uniforme, solo puede depender de , y la elección de tiene que trabajar para todos , por un valor específico de que se da. Por el contrario, en el caso de la convergencia puntual, puede depender de ambos y , y la elección de sólo tiene que trabajar para los valores específicos de y que se dan. Por lo tanto, la convergencia uniforme implica una convergencia puntual, sin embargo, lo contrario no es cierto, como ilustra el ejemplo de la sección siguiente.
Generalizaciones
Se puede extender directamente el concepto a las funciones E → M , donde ( M , d ) es un espacio métrico , reemplazando con .
El escenario más general es la convergencia uniforme de redes de funciones E → X , donde X es un espacio uniforme . Decimos que la red converge uniformemente con el límite f : E → X si y solo si para cada séquito V en X , existe un, de modo que para cada x en E y cada, es en V . En esta situación, el límite uniforme de funciones continuas permanece continuo.
Definición en un entorno hiperreal
La convergencia uniforme admite una definición simplificada en un entorno hiperreal . Por tanto, una secuenciaconverge af uniformemente si para todo x en el dominio dey todo n infinito , está infinitamente cerca de (ver microcontinuidad para una definición similar de continuidad uniforme).
Ejemplos de
Dado un espacio topológico X , podemos equipar el espacio de funciones acotadas reales o valuadas complejas sobre X con la topología de norma uniforme , con la métrica uniforme definida por
Entonces la convergencia uniforme simplemente significa convergencia en la topología de norma uniforme :
- .
La secuencia de funciones
es un ejemplo clásico de una secuencia de funciones que converge a una función puntual pero no uniformemente. Para mostrar esto, primero observamos que el límite puntual de como es la funcion , dada por
Convergencia puntual: la convergencia es trivial para y , desde y , para todos . Para y dado , podemos asegurarnos de que cuando sea por elección (aquí los corchetes superiores indican redondeo, ver función de techo ). Por eso, puntual para todos . Tenga en cuenta que la elección de depende del valor de y . Además, para una elección fija de, (que no se puede definir como más pequeño) crece sin límite como enfoques 1. Estas observaciones excluyen la posibilidad de una convergencia uniforme.
No uniformidad de convergencia: La convergencia no es uniforme, porque podemos encontrar un para que no importa que tan grande elijamos habrá valores de y tal que Para ver esto, primero observe que independientemente del tamaño se convierte, siempre hay un tal que Por lo tanto, si elegimos nunca podremos encontrar un tal que para todos y . Explícitamente, cualquier candidato que elijamos, considere el valor de a . Desde
el candidato fracasa porque hemos encontrado un ejemplo de que "escapó" a nuestro intento de "confinar" cada a dentro de para todos . De hecho, es fácil ver que
contrario al requisito de que Si .
En este ejemplo, se puede ver fácilmente que la convergencia puntual no preserva la diferenciabilidad o la continuidad. Si bien cada función de la secuencia es suave, es decir que para todo n ,, el límite ni siquiera es continuo.
Funcion exponencial
Se puede demostrar que la expansión en serie de la función exponencial es uniformemente convergente en cualquier subconjunto acotadoutilizando la prueba M de Weierstrass .
Teorema (prueba M de Weierstrass). Dejar ser una secuencia de funciones y deja ser una secuencia de números reales positivos tal que para todos y Si converge, entonces converge uniformemente en .
La función exponencial compleja se puede expresar como la serie:
Cualquier subconjunto acotado es un subconjunto de algún disco de radio centrado en el origen en el plano complejo . La prueba M de Weierstrass requiere que encontremos un límite superior en los términos de la serie, con independiente de la posición en el disco:
Para hacer esto, notamos
y tomar
Si es convergente, entonces la prueba M afirma que la serie original es uniformemente convergente.
La prueba de relación se puede utilizar aquí:
lo que significa que la serie ha terminado es convergente. Así, la serie original converge uniformemente para todos y desde , la serie también es uniformemente convergente en
Propiedades
- Toda secuencia uniformemente convergente es localmente uniformemente convergente.
- Cada secuencia localmente uniformemente convergente es compactamente convergente .
- Para espacios localmente compactos, la convergencia local uniforme y la convergencia compacta coinciden.
- Una secuencia de funciones continuas en espacios métricos, con el espacio métrico de la imagen completo, es uniformemente convergente si y solo si es uniformemente Cauchy .
- Si es un intervalo compacto (o en general un espacio topológico compacto), yes una secuencia creciente monótona (que significapara todo n y x ) de funciones continuas con un límite puntualque también es continua, entonces la convergencia es necesariamente uniforme ( teorema de Dini ). También se garantiza una convergencia uniforme si es un intervalo compacto y es una secuencia equicontinua que converge puntualmente.
Aplicaciones
A la continuidad
Si y son espacios topológicos , entonces tiene sentido hablar de la continuidad de las funciones. Si asumimos además quees un espacio métrico , entonces la convergencia (uniforme) de la a también está bien definido. El siguiente resultado indica que la continuidad se conserva mediante la convergencia uniforme:
- Teorema del límite uniforme . Suponer es un espacio topológico, es un espacio métrico y es una secuencia de funciones continuas . Si en , luego también es continuo.
Este teorema se demuestra mediante el " truco ε / 3 ", y es el ejemplo arquetípico de este truco: para probar una desigualdad dada ( ε ), se utilizan las definiciones de continuidad y convergencia uniforme para producir 3 desigualdades ( ε / 3 ), y luego los combina a través de la desigualdad del triángulo para producir la desigualdad deseada.
Este teorema es importante en la historia del análisis real y de Fourier, ya que muchos matemáticos del siglo XVIII tenían la comprensión intuitiva de que una secuencia de funciones continuas siempre converge en una función continua. La imagen de arriba muestra un contraejemplo, y muchas funciones discontinuas podrían, de hecho, escribirse como una serie de Fourier de funciones continuas. La afirmación errónea de que el límite puntual de una secuencia de funciones continuas es continuo (originalmente expresado en términos de series convergentes de funciones continuas) se conoce infamemente como "teorema erróneo de Cauchy". El teorema del límite uniforme muestra que se necesita una forma más fuerte de convergencia, la convergencia uniforme, para asegurar la preservación de la continuidad en la función límite.
Más precisamente, este teorema establece que el límite uniforme de funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo; para un espacio localmente compacto , la continuidad es equivalente a la continuidad local uniforme y, por tanto, el límite uniforme de las funciones continuas es continuo.
A la diferenciabilidad
Si es un intervalo y todas las funciones son diferenciables y convergen hasta un límite, a menudo es deseable determinar la función derivada tomando el límite de la secuencia . Sin embargo, esto en general no es posible: incluso si la convergencia es uniforme, la función límite no necesita ser diferenciable (ni siquiera si la secuencia consta de funciones analíticas en todas partes , ver función de Weierstrass ), e incluso si es diferenciable, la derivada de la función límite no necesita ser igual al límite de las derivadas. Considere, por ejemplo con límite uniforme . Claramente,también es idénticamente cero. Sin embargo, las derivadas de la secuencia de funciones están dadas por y la secuencia no converge a o incluso a cualquier función. Para asegurar una conexión entre el límite de una secuencia de funciones diferenciables y el límite de la secuencia de derivadas, se requiere la convergencia uniforme de la secuencia de derivadas más la convergencia de la secuencia de funciones en al menos un punto: [4 ]
- Si es una secuencia de funciones diferenciables en tal que existe (y es finito) para algunos y la secuencia converge uniformemente en , luego converge uniformemente a una función en , y por .
A la integrabilidad
De manera similar, a menudo se desea intercambiar integrales y limitar procesos. Para la integral de Riemann , esto se puede hacer si se supone una convergencia uniforme:
- Si es una secuencia de funciones integrables de Riemann definidas en un intervalo compacto que convergen uniformemente con el límite , luego es integrable de Riemann y su integral se puede calcular como el límite de las integrales de la :
De hecho, para una familia uniformemente convergente de funciones limitadas en un intervalo, las integrales de Riemann superior e inferior convergen a las integrales de Riemann superior e inferior de la función límite. Esto se sigue porque, para n suficientemente grande, la gráfica deestá dentro de ε de la gráfica de f , por lo que la suma superior y la suma inferior de están cada uno dentro del valor de las sumas superior e inferior de , respectivamente.
Se pueden obtener teoremas mucho más sólidos a este respecto, que no requieren mucho más que una convergencia puntual, si se abandona la integral de Riemann y se utiliza la integral de Lebesgue en su lugar.
A la analiticidad
Usando el Teorema de Morera , se puede demostrar que si una secuencia de funciones analíticas converge uniformemente en una región S del plano complejo, entonces el límite es analítico en S. Este ejemplo demuestra que las funciones complejas se comportan mejor que las funciones reales, ya que el El límite uniforme de funciones analíticas en un intervalo real ni siquiera necesita ser diferenciable (ver función de Weierstrass ).
A la serie
Nosotros decimos eso converge:
i) puntual en E si y solo si la secuencia de sumas parciales converge para cada .
ii) uniformemente en E si y solo si s n converge uniformemente como.
iii) absolutamente en E si y solo si converge para cada .
Con esta definición llega el siguiente resultado:
Sea x 0 contenido en el conjunto E y cada f n sea continua en x 0 . Siconverge uniformemente en E entonces f es continua en x 0 en E. Suponga quey cada f n es integrable en E. Siconverge uniformemente en E, entonces f es integrable en E y la serie de integrales de f n es igual a la integral de la serie de f n .
Convergencia casi uniforme
Si el dominio de las funciones es un espacio de medida E, entonces se puede definir la noción relacionada de convergencia casi uniforme . Decimos una secuencia de funcionesconverge casi uniformemente en E si para cada existe un conjunto medible con medida menor que tal que la secuencia de funciones converge uniformemente en . En otras palabras, la convergencia casi uniforme significa que hay conjuntos de medidas arbitrariamente pequeñas para las cuales la secuencia de funciones converge uniformemente en su complemento.
Tenga en cuenta que la convergencia casi uniforme de una secuencia no significa que la secuencia converja uniformemente en casi todas partes, como podría inferirse del nombre. Sin embargo, el teorema de Egorov garantiza que en un espacio de medida finito, una secuencia de funciones que converge casi en todas partes también converge casi uniformemente en el mismo conjunto.
La convergencia casi uniforme implica casi en todas partes convergencia y convergencia en la medida .
Ver también
- Convergencia uniforme en probabilidad
- Modos de convergencia (índice anotado)
- Teorema de Dini
- Teorema de Arzelà-Ascoli
Notas
- ^ Sørensen, Henrik Kragh (2005). "Excepciones y contraejemplos: comprensión del comentario de Abel sobre el teorema de Cauchy". Historia Mathematica . 32 (4): 453–480. doi : 10.1016 / j.hm.2004.11.010 .
- ^ Jahnke, Hans Niels (2003). "6.7 La base del análisis en el siglo XIX: Weierstrass". Una historia de análisis . Librería AMS. ISBN 978-0-8218-2623-2, p. 184 .CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Lakatos, Imre (1976). Pruebas y refutaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 141 . ISBN 978-0-521-21078-2.
- ^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático 3ª edición, Teorema 7.17. McGraw-Hill: Nueva York.
Referencias
- Konrad Knopp , teoría y aplicación de las series infinitas ; Blackie and Son, Londres, 1954, reimpreso por Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2 .
- GH Hardy , Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme ; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 19 , págs. 148-156 (1918)
- Bourbaki ; Elementos de las matemáticas: topología general. Capítulos 5 a 10 (rústica) ; ISBN 0-387-19374-X
- Walter Rudin , Principios del análisis matemático , 3ª ed., McGraw – Hill, 1976.
- Gerald Folland , Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones, segunda edición, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .
- William Wade, Introducción al análisis , 3ra ed., Pearson, 2005
enlaces externos
- "Convergencia uniforme" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Ejemplos gráficos de convergencia uniforme de series de Fourier de la Universidad de Colorado