Espacio uniformemente convexo

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En matemáticas , los espacios uniformemente convexos (o espacios uniformemente redondos ) son ejemplos comunes de espacios reflexivos de Banach . El concepto de convexidad uniforme fue introducido por primera vez por James A. Clarkson en 1936.

Un espacio uniformemente convexo es un espacio vectorial normado tal que, para todo, hay alguno tal que para cualesquiera dos vectores con y la condición${\displaystyle 0<\varepsilon\leq 2}$${\ estilo de visualización \ delta > 0}$${\ estilo de visualización \|x\|=1}$${\ estilo de visualización \|y\|=1,}$

Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la bola unitaria debe estar muy adentro de la bola unitaria a menos que el segmento sea corto.

La parte "si" es trivial. Por el contrario, suponga ahora que es uniformemente convexo y que son como en el enunciado, para algunos fijos . Sea el valor de correspondiente a en la definición de convexidad uniforme. Mostraremos que , con .${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización x, y}$${\displaystyle 0<\varepsilon\leq 2}$${\ estilo de visualización \ delta _ {1} \ leq 1}$${\ estilo de visualización \ delta}$${\displaystyle {\frac {\varepsilon}{3}}}$${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$${\displaystyle \delta =\min \left\{{\frac {\varepsilon} {6}},{\frac {\delta_{1}}{3}}\right\}}$

Si entonces y se prueba la pretensión. Se aplica un argumento similar para el caso , por lo que podemos suponer que . En este caso, dado que , ambos vectores son distintos de cero, entonces podemos dejar y . Tenemos y del mismo modo , por lo que y pertenecemos a la esfera unitaria y tenemos distancia . Por lo tanto, por nuestra elección de , tenemos . De ello se sigue y se prueba la afirmación.${\displaystyle \|x\|\leq 1-2\delta }$${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq {\frac {1}{2}}(1-2\delta )+{\frac {1}{2}}=1-\delta }$${\displaystyle \|y\|\leq 1-2\delta }$${\displaystyle 1-2\delta <\|x\|,\|y\|\leq 1}$${\displaystyle \delta \leq {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle x'={\frac {x}{\|x\|}}}$${\displaystyle y'={\frac {y}{\|y\|}}}$${\displaystyle \|x'-x\|=1-\|x\|\leq 2\delta }$${\displaystyle \|y'-y\|\leq 2\delta }$${\displaystyle x'}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle \|x'-y'\|\geq \|x-y\|-4\delta \geq \varepsilon -{\frac {4\varepsilon }{6}}={\frac {\varepsilon }{3}}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|\leq 1-\delta _{1}}$${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|+{\frac {\|x'-x\|+\|y'-y\|}{2}}\leq 1-\delta _{1}+2\delta \leq 1-{\frac {\delta _{1}}{3}}\leq 1-\delta }$

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