En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , un espacio reflexivo es un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) tal que el mapa de evaluación canónica de X a su bidual (que es el dual fuerte del dual fuerte de X ) es un isomorfismo. de televisores. Dado que un TVS normable es reflexivo si y solo si es semi-reflexivo , cada espacio normado (y así en particular, cada espacio de Banach ) X es reflexivo si y solo si el mapa de evaluación canónica de X a su bidual essobreyectiva ; en este caso el espacio normado es necesariamente también un espacio de Banach. Tenga en cuenta que en 1951, RC James descubrió un espacio de Banach no reflexivo que es isométricamente isomórfico a su bidual (cualquier isomorfismo de este tipo no es necesariamente el mapa de evaluación canónico).
Los espacios reflexivos juegan un papel importante en la teoría general de las TVS localmente convexas y en la teoría de los espacios de Banach en particular. Los espacios de Hilbert son ejemplos destacados de espacios reflexivos de Banach. Los espacios reflexivos de Banach se caracterizan a menudo por sus propiedades geométricas.
Definición
- Definición del bidual
Suponga que X es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo(que son los números reales o complejos) cuyo espacio dual continuo , separa puntos en X (es decir, para cualquier existe algo tal que ). Dejar y ambos denotan el fuerte dual de X , que es el espacio vectorialde funcionales lineales continuos en X dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de X ; esta topología también se denomina topología dual fuerte y es la topología "predeterminada" colocada en un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si X es un espacio normado, entonces el dual fuerte de X es el espacio dual continuocon su topología de norma habitual. El bidual de X , denotado por es el fuerte dual de ; es decir, es el espacio[1] Si X es un espacio normado, entonces es el espacio dual continuo del espacio Banach con su topología de norma habitual.
- Definiciones del mapa de evaluación y espacios reflexivos
Para cualquier dejar ser definido por dónde es un mapa lineal llamado mapa de evaluación en x ; desde es necesariamente continua, se sigue que Desde separa puntos en X , el mapa lineal definido por es inyectivo donde este mapa se llama mapa de evaluación o mapa canónico . Llamamos a X semi-reflexivo sies biyectiva (o equivalentemente, sobreyectiva ) y llamamos X reflexiva si ademáses un isomorfismo de TVS. [1] Un espacio normable es reflexivo si y solo si es semi-reflexivo o de manera equivalente, si y solo si el mapa de evaluación es sobreyectivo.
Espacios reflexivos de Banach
Suponer es un espacio vectorial normalizado sobre el campo numérico o (los números reales o complejos ), con una normaConsidere su espacio normado dual que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la norma dual definido por
El dual es un espacio normado (un espacio de Banach para ser precisos), y su espacio normado dualse llama espacio bidual para El bidual consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la norma dual a Cada vector genera una función escalar por la fórmula:
y es un funcional lineal continuo en es decir, Se obtiene así un mapa
llamado mapa de evaluación , que es lineal. Se deduce del teorema de Hahn-Banach que es inyectable y conserva normas:
es decir , mapas isométricamente sobre su imagen en Además, la imagen está cerrado en pero no necesita ser igual a
Un espacio normado se llama reflexivo si satisface las siguientes condiciones equivalentes:
- el mapa de evaluación es sobreyectiva ,
- el mapa de evaluación es un isomorfismo isométrico de espacios normativos,
- el mapa de evaluación es un isomorfismo de espacios normativos.
Un espacio reflexivo es un espacio de Banach, ya que es entonces isométrica al espacio de Banach
Observación
Un espacio de Banach X es reflexiva si es linealmente isométrica a su bidual bajo esta incrustación canónica J . El espacio de James es un ejemplo de un espacio no reflexivo que es linealmente isométrico a su bidual . Además, la imagen del espacio de James bajo la incrustación canónica J tiene codimensión uno en su bidual. [2] Un espacio de Banach X se llama cuasi-reflexivo (de orden d ) si el cociente X ′ ′ / J ( X ) tiene una dimensión finita d .
Ejemplos de
- Todo espacio normado de dimensión finita es reflexivo, simplemente porque en este caso, el espacio, su dual y bidual tienen todos la misma dimensión lineal, por lo tanto, la inyección lineal J de la definición es biyectiva, según el teorema de rango-nulidad .
- El espacio de Banach c 0 de secuencias escalares que tienden a 0 en el infinito, equipado con la norma supremum, no es reflexivo. De las propiedades generales siguientes se deduce que ℓ 1 y ℓ ∞ no son reflexivos, porque ℓ 1 es isomorfo al dual dey ℓ ∞ es isomorfo al dual de ℓ 1 .
- Todos los espacios de Hilbert son reflexivos, al igual que los espacios L p paraDe manera más general: todos los espacios de Banach uniformemente convexos son reflexivos según el teorema de Milman-Pettis . La y los espacios no son reflexivos (a menos que sean de dimensión finita, lo que sucede, por ejemplo, cuando μ es una medida en un conjunto finito). Asimismo, el espacio Banach de funciones continuas en no es reflexivo.
- Los espacios de los operadores en la clase de Schatten en un espacio de Hilbert H son uniformemente convexos, por lo tanto reflexivos, cuandoCuando la dimensión de H es infinita, entonces(la clase de traza ) no es reflexiva, porque contiene un subespacio isomorfo a ℓ 1 , y(los operadores lineales acotados en H ) no es reflexivo, porque contiene un subespacio isomorfo a ℓ ∞ . En ambos casos, el subespacio puede ser elegido para ser los operadores diagonales con respecto a una base ortonormal dada de H .
Propiedades
Si un espacio de Banach Y es isomorfo a un espacio de Banach reflexivo X , entonces Y es reflexivo. [3]
Cada cerrada subespacio lineal de un espacio reflexivo es reflexiva. El dual continuo de un espacio reflexivo es reflexivo. Cada cociente de un espacio reflexivo por un subespacio cerrado es reflexivo. [4]
Sea X un espacio de Banach. Los siguientes son equivalentes.
- El espacio X es reflexivo.
- El dual continuo de X es reflexivo. [5]
- La bola unitaria cerrada de X es compacta en la topología débil . (Esto se conoce como Teorema de Kakutani.) [6]
- Cada secuencia acotada en X tiene una subsecuencia débilmente convergente. [7]
- Cada funcional lineal continua en X alcanza su extremo superior en la bola unidad cerrada en X . [8] ( teorema de James )
Dado que los subconjuntos convexos cerrados por norma en un espacio de Banach están débilmente cerrados, [9] se sigue de la tercera propiedad que los subconjuntos convexos cerrados cerrados de un espacio reflexivo X son débilmente compactos. Por lo tanto, para cada secuencia decreciente de subconjuntos convexos acotados cerrados no vacíos de X , la intersección no es vacía. Como consecuencia, toda función convexa continua f en un subconjunto convexo cerrado C de X , tal que el conjunto
es no vacío y acotado por algún número real t , alcanza su valor mínimo en C .
La propiedad geométrica prometida de los espacios reflexivos de Banach es la siguiente: si C es un subconjunto convexo cerrado no vacío del espacio reflexivo X , entonces para cada x en X existe una c en C tal quereduce al mínimo la distancia entre x y puntos de C . Esto se sigue del resultado anterior para funciones convexas, aplicado aTenga en cuenta que mientras que la distancia mínima entre x y C está definida de forma única por x , el punto c no lo es. El punto c más cercano es único cuando X es uniformemente convexo.
Un espacio reflexivo de Banach es separable si y solo si su dual continuo es separable. Esto se sigue del hecho de que para cada espacio normado Y , la separabilidad del dual continuoimplica separabilidad de Y . [10]
Espacio superreflexivo
De manera informal, un espacio de Banach superreflexivo X tiene la siguiente propiedad: dado un espacio de Banach arbitrario Y , si todos los subespacios de dimensión finita de Y tienen una copia muy similar en algún lugar de X , entonces Y debe ser reflexivo. Según esta definición, el propio espacio X debe ser reflexivo. Como ejemplo elemental, cada espacio de Banach Y cuyos subespacios bidimensionales son isométricos a los subespacios de X = ℓ 2 satisface la ley del paralelogramo , por lo tanto [11] Y es un espacio de Hilbert, por lo tanto Y es reflexivo. Entonces, ℓ 2 es superreflexivo.
La definición formal no utiliza isometrías, sino casi isometrías. Un espacio de Banach Y es finitamente representable [12] en un espacio de Banach X si para cada subespacio de dimensión finitade Y y cada hay un subespacio de X tal que la distancia multiplicativa de Banach-Mazur entre y satisface
Un espacio de Banach finitamente representable en ℓ 2 es un espacio de Hilbert. Cada espacio de Banach es finitamente representable enEl espacio L p ([0, 1]) es finitamente representable en ℓ p .
Un espacio de Banach X es super-reflexiva si todos los espacios de Banach Y finitamente representables en X son reflexiva, o, en otras palabras, si no hay espacio no reflexiva Y es finitamente representable en X . La noción de ultraproducto de una familia de espacios de Banach [13] permite una definición concisa: el espacio de Banach X es superreflexivo cuando sus ultrapoderes son reflexivos.
James demostró que un espacio es superreflexivo si y solo si su dual es superreflexivo. [12]
Árboles finitos en espacios de Banach
Una de las caracterizaciones de la superreflexividad de James utiliza el crecimiento de árboles separados. [14] La descripción de un árbol binario vectorial comienza con un árbol binario enraizado etiquetado por vectores: un árbol de altura n en un espacio de Banach X es una familia devectores de X , que se pueden organizar en niveles sucesivos, comenzando con el nivel 0 que consta de un solo vector x ∅ , la raíz del árbol, seguido, porpor una familia de 2 k vectores que forman el nivel k :
que son hijos de vértices de nivel k - 1 . Además de la estructura del árbol , aquí se requiere que cada vector que es un vértice interno del árbol sea el punto medio entre sus dos hijos:
Dado un número real positivo t , se dice que el árbol está t -separado si para cada vértice interno, los dos hijos están t -separados en la norma espacial dada:
Teorema. [14] El espacio de Banach X es superreflexivo si y solo si para cada hay un numero tal que cada árbol t separado contenido en la bola unitaria de X tenga una altura menor que
Los espacios uniformemente convexos son superreflexivos. [14] Sea X uniformemente convexo, con módulo de convexidad δ X y sea t un número real en (0, 2] . Según las propiedades del módulo de convexidad, un árbol de altura t separado contenida en la bola de la unidad, debe tener todos los puntos de nivel contenida en la bola de radio 1 - δ X ( t ) <1 . Por inducción, se deduce que todos los puntos de nivel están contenidos en la bola de radio
Si la altura era tan grande que
luego los dos puntos del primer nivel no se puede separar en t , contrariamente a lo que se supone. Esto da el límite requeridofunción de δ X ( t ) solamente.
Utilizando la caracterización del árbol, Enflo demostró [15] que los espacios superreflexivos de Banach admiten una norma equivalente uniformemente convexa. Los árboles en un espacio de Banach son una instancia especial de martingalas con valores vectoriales . Añadiendo técnicas de la teoría de la martingala escalar, Pisier mejoró el resultado de Enflo mostrando [16] que un espacio superreflexivo X admite una norma uniformemente convexa equivalente para la cual el módulo de convexidad satisface, para alguna constante y un numero real
Espacios reflexivos localmente convexos
La noción de espacio reflexivo de Banach se puede generalizar a espacios vectoriales topológicos de la siguiente manera.
Dejar ser un espacio vectorial topológico sobre un campo numérico (de números reales o números complejos ). Considere su fuerte espacio dual que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte es decir , la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados en El espacio es un espacio vectorial topológico (para ser más precisos, un espacio localmente convexo), por lo que se puede considerar su fuerte espacio dual que se llama el espacio bidual fuerte para Consiste en todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte Cada vector genera un mapa por la siguiente fórmula:
Este es un funcional lineal continuo en es decir ,Esto induce un mapa llamado mapa de evaluación :
Este mapa es lineal. Sies localmente convexa, del teorema de Hahn-Banach se deduce que es inyectiva y abierta (es decir, para cada vecindario de cero en hay un barrio de cero en tal que ). Pero puede ser no sobreyectiva y / o discontinua.
Un espacio localmente convexo se llama
- semi-reflexivo si el mapa de evaluación es sobreyectiva (por lo tanto, biyectiva),
- reflexivo si el mapa de evaluación es sobreyectiva y continua (en este caso es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos [17] ).
Teorema [18] - Un espacio de Hausdorff localmente convexo es semi-reflexivo si y solo si con el -topología tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, subconjuntos débilmente cerrados y acotados de son débilmente compactos).
Teorema [19] [20] - Un espacio localmente convexoes reflexivo si y solo si es semi-reflexivo y cañón .
Teorema [21] - El dual fuerte de un espacio semirreflexivo es un cañón.
Teorema [22] - Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica de X en su bidual es una incrustación topológica si y sólo si X es infrabarricado .
Espacios semirreflexivos
Caracterizaciones
Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, los siguientes son equivalentes:
- X es semirreflexivo;
- la topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). [1]
- Si forma lineal en que continuo cuando tiene la topología dual fuerte, entonces es continua cuando tiene la topología débil; [23]
- tiene cañón; [23]
- X débil la topología débiles casi completo . [23]
Caracterizaciones de espacios reflexivos
Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, los siguientes son equivalentes:
- X es reflexivo;
- X es semirreflexivo e infrabarricado ; [22]
- X es semirreflexivo y cañón ;
- X tiene cañón y la topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). [1]
- X es semirreflexivo y cuasibarrelizado . [24]
Si X es un espacio normado, los siguientes son equivalentes:
- X es reflexivo;
- la bola unitaria cerrada es compacta cuando X tiene la topología débil[25]
- X es un espacio de Banach yes reflexivo. [26]
- Cada secuencia con para todos de los subconjuntos convexos acotados cerrados no vacíos de X tiene una intersección no vacía. [27]
Teorema [28] - Un espacio de Banach real es reflexivo si y solo si cada par de subconjuntos convexos cerrados, separados y no vacíos, uno de los cuales está acotado, puede estar estrictamente separado por un hiperplano .
Teorema de James : un espacio de Banach es reflexivo si y solo si cada funcional lineal continuo enalcanza su supremo en la unidad cerrada bola en.
Condiciones suficientes
- Un subespacio vectorial cerrado de un espacio reflexivo de Banach es reflexivo. [22]
- Deje que X sea un espacio de Banach y M un subespacio vectorial cerrado de X . Si dos de X , M yson reflexivos, entonces todos lo son. [22]
- Esta es la razón por la que la reflexividad se denomina propiedad de tres espacios . [22]
- El dual fuerte de un espacio reflexivo es reflexivo. [29]
- Si un cañón espacio de Hausdorff localmente convexa es semireflexive entonces es reflexiva. [1]
- Un espacio normado que es semirreflexivo es un espacio reflexivo de Banach. [30]
- Cada espacio de Montel es reflexivo. [25]
- El dual fuerte de un espacio de Montel es un espacio de Montel (y por lo tanto es reflexivo). [25]
Propiedades
- Un espacio reflexivo localmente convexo de Hausdorff es barril .
- Si X es un espacio normado, entonces es una isometría en un subespacio cerrado de [30] Esta isometría se puede expresar mediante:
- Supongamos que X es un espacio normado yes su bidual equipado con la norma bidual. Entonces la bola unitaria de X , es denso en la bola unitaria de para la topología débil [30]
Ejemplos de
- Todo espacio vectorial topológico de Hausdorff de dimensión finita es reflexivo, porque es biyectiva según el álgebra lineal, y porque existe una topología de espacio vectorial de Hausdorff única en un espacio vectorial de dimensión finita.
- Un espacio normado es reflexivo como espacio normado si y sólo si es reflexivo como espacio localmente convexo. Esto se deriva del hecho de que para un espacio normado su espacio normado dual coincide como un espacio vectorial topológico con el fuerte espacio dual Como corolario, el mapa de evaluación coincide con el mapa de evaluación y las siguientes condiciones se vuelven equivalentes:
- es un espacio normado reflexivo (es decir es un isomorfismo de espacios normativos),
- es un espacio reflexivo localmente convexo (es decir es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos [17] ),
- es un espacio semirreflexivo localmente convexo (es decir, es sobreyectiva).
- Un ejemplo (algo artificial) de un espacio semi-reflexivo que no es reflexivo se obtiene de la siguiente manera: ser un espacio de Banach reflexivo de dimensión infinita, y dejar ser el espacio vectorial topológico es decir, el espacio vectorial equipado con la topología débil. Entonces el dual continuo de y son el mismo conjunto de funcionales, y subconjuntos acotados de (es decir, subconjuntos débilmente acotados de ) están delimitados por normas, de ahí el espacio de Banach es el fuerte dual de Desde es reflexivo, el dual continuo de es igual a la imagen de bajo la incrustación canónica pero la topología en (la topología débil de ) no es la topología fuerte que es igual a la topología normal de
- Los espacios de Montel son espacios vectoriales topológicos reflexivos localmente convexos. En particular, los siguientes espacios funcionales que se utilizan con frecuencia en el análisis funcional son espacios reflexivos localmente convexos: [31]
- el espacio de funciones suaves en colector suave arbitrario (real) y su fuerte espacio dual de distribuciones con soporte compacto en
- el espacio de funciones suaves con soporte compacto en colector suave arbitrario (real) y su fuerte espacio dual de distribuciones en
- el espacio de funciones holomorfas en una variedad compleja arbitraria y su fuerte espacio dual de funcionales analíticos en
- el espacio Schwartz en y su fuerte espacio dual de distribuciones templadas en
- Contraejemplos
- Existe un TVS localmente convexo no reflexivo cuyo dual fuerte es reflexivo. [32]
Otros tipos de reflexividad
Un espacio estereotípico, o espacio reflexivo polar, se define como un espacio vectorial topológico que satisface una condición similar de reflexividad, pero con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos totalmente delimitados (en lugar de subconjuntos delimitados ) en la definición de espacio dual X '. Más precisamente, un espacio vectorial topológicose llama polar reflexivo [33] o estereotipo si el mapa de evaluación en el segundo espacio dual
es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos. [17] Aquí el estereotipo del espacio dual se define como el espacio de funcionales lineales continuos dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente delimitados en (y el estereotipo del segundo espacio dual es el espacio dual para en el mismo sentido).
A diferencia de los espacios reflexivos clásicos, la clase Ste de espacios estereotipados es muy amplia (contiene, en particular, todos los espacios de Fréchet y, por tanto, todos los espacios de Banach ), forma una categoría monoidal cerrada , y admite operaciones estándar (definidas dentro de Ste ) de construir nuevos espacios, como tomar subespacios cerrados, espacios cocientes, límites proyectivos e inyectivos, el espacio de operadores, productos tensoriales, etc. La categoría Ste tiene aplicaciones en la teoría de la dualidad para grupos no conmutativos.
De manera similar, se puede reemplazar la clase de subconjuntos delimitados (y totalmente delimitados) en X en la definición de espacio dual X ', por otras clases de subconjuntos, por ejemplo, por la clase de subconjuntos compactos en X - los espacios definidos por el correspondiente Las condiciones de reflexividad se denominan reflexivas , [34] [35] y forman una clase aún más amplia que Ste , pero no está claro (2012), si esta clase forma una categoría con propiedades similares a las de Ste .
Ver también
- Una generalización que tiene algunas de las propiedades de los espacios reflexivos e incluye muchos espacios de importancia práctica es el concepto de espacio de Grothendieck .
- Álgebra de operador reflexivo
Notas
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