En álgebra abstracta , un módulo se denomina módulo uniforme si la intersección de dos submódulos distintos de cero es diferente de cero. Esto equivale a decir que cada submódulo distinto de cero de M es un submódulo esencial . Un anillo puede denominarse anillo uniforme derecho (izquierdo) si es uniforme como un módulo derecho (izquierdo) sobre sí mismo.
Alfred Goldie utilizó la noción de módulos uniformes para construir una medida de dimensión para los módulos, ahora conocida como dimensión uniforme (o dimensión Goldie ) de un módulo. La dimensión uniforme generaliza algunos, pero no todos, los aspectos de la noción de dimensión de un espacio vectorial . La dimensión uniforme finita fue una suposición clave para varios teoremas de Goldie, incluido el teorema de Goldie , que caracteriza qué anillos son de orden correcto en un anillo semisimple . Los módulos de dimensión uniforme finita generalizan tanto los módulos artinianos como los módulos noetherianos .
En la literatura, la dimensión uniforme también se denomina simplemente la dimensión de un módulo o el rango de un módulo . La dimensión uniforme no debe confundirse con la noción relacionada, también debida a Goldie, del rango reducido de un módulo.
Propiedades y ejemplos de módulos uniformes
Al ser un módulo uniforme, no suelen preservarse los productos directos o los módulos de cociente. La suma directa de dos módulos de distinto de cero siempre uniformes contiene dos submódulos con cero intersección, a saber, los dos módulos de sumandos originales. Si N 1 y N 2 son submódulos adecuados de un módulo uniforme M y ninguno de los submódulos contiene al otro, entonces no es uniforme, ya que
Los módulos uniseriales son uniformes y los módulos uniformes son necesariamente directamente indecomponibles. Cualquier dominio conmutativa es un anillo uniforme, ya que si un y b son elementos distintos de cero de dos ideales, entonces el producto AB es un elemento distinto de cero en la intersección de los ideales.
Dimensión uniforme de un módulo
El siguiente teorema permite definir una dimensión en módulos utilizando submódulos uniformes. Es una versión modular de un teorema del espacio vectorial:
Teorema: Si U i y V j son miembros de una colección finita de submódulos uniformes de un módulo M tal que y son ambos submódulos esenciales de M , entonces n = m .
La dimensión uniforme de un módulo M , denotado u.dim ( M ), se define como n si existe un conjunto finito de submódulos uniformes U i tal quees un submódulo esencial de M . El teorema anterior asegura que este n está bien definido. Si no existe tal conjunto finito de submódulos, entonces u.dim ( M ) se define como ∞. Cuando se habla de la dimensión uniforme de un anillo, es necesario especificar si se mide u.dim ( R R ) o más bien u.dim ( R R ). Es posible tener dos dimensiones uniformes diferentes en los lados opuestos de un anillo.
Si N es un submódulo de M , entonces u.dim ( N ) ≤ u.dim ( M ) con la igualdad exactamente cuando N es un submódulo esencial de M . En particular, M y su casco inyectivo E ( M ) siempre tienen la misma dimensión uniforme. También es cierto que u.dim ( M ) = n si y solo si E ( M ) es una suma directa de n módulos inyectivos indecomponibles .
Se puede demostrar que u.dim ( M ) = ∞ si y solo si M contiene una suma directa infinita de submódulos distintos de cero. Por tanto, si M es noetheriano o artiniano, M tiene una dimensión uniforme finita. Si M tiene una longitud de composición finita k , entonces u.dim ( M ) ≤ k con igualdad exactamente cuando M es un módulo semisimple . ( Lam 1999 )
Un resultado estándar es que un dominio Noetheriano correcto es un dominio Mineral correcto . De hecho, podemos recuperar este resultado de otro teorema atribuido a Goldie, que establece que las siguientes tres condiciones son equivalentes para un dominio D :
- D tiene razón Ore
- u.dim ( D D ) = 1
- u.dim ( D D ) <∞
Módulos huecos y dimensión co-uniforme
La noción dual de un módulo uniforme es la de un módulo hueco : se dice que un módulo M es hueco si, cuando N 1 y N 2 son submódulos de M tales que, Entonces o bien N 1 = M o N 2 = M . De manera equivalente, también se podría decir que cada submódulo propio de M es un submódulo superfluo .
Estos módulos también admiten un análogo de dimensión uniforme, denominada dimensión co-uniforme , dimensión corank , dimensión hueca o dimensión Goldie dual . Se realizaron estudios de módulos huecos y dimensión co-uniforme en ( Fleury 1974 ) , ( Reiter 1981 ) , ( Takeuchi 1976 ) , ( Varadarajan 1979 ) y ( Miyashita 1966 ) . Se advierte al lector que Fleury exploró distintas formas de dualizar la dimensión Goldie. Las versiones de Varadarajan, Takeuchi y Reiter de la dimensión hueca son posiblemente las más naturales. Grzeszczuk y Puczylowski en ( Grzeszczuk y Puczylowski 1984 ) dio una definición de dimensión uniforme para celosías modulares de manera que la dimensión hueca de un módulo era la dimensión uniforme de su celosía dual de submódulos.
Siempre ocurre que un módulo de cogeneración finita tiene una dimensión uniforme finita. Esto plantea la pregunta: ¿un módulo generado de forma finita tiene una dimensión hueca finita? La respuesta resulta ser no: se mostró en ( Sarath & Varadarajan 1979 ) que si un módulo M tiene dimensión hueco finito, entonces M / J ( M ) es un semisimple , módulo Artinian . Hay muchos anillos con unidad para los cuales R / J ( R ) no es artiniano semisimple, y dado tal anillo R , R en sí mismo se genera finitamente pero tiene una dimensión hueca infinita.
Sarath y Varadarajan mostraron más tarde, que M / J ( M ) siendo Artinian semisimple también es suficiente para M a tiene dimensión finita hueco proporcionado J ( M ) es un submódulo superfluo de M . [1] Esto muestra que los anillos R con dimensión hueca finita como módulo R izquierdo o derecho son precisamente los anillos semilocales .
Un corolario adicional del resultado de Varadarajan es que R R tiene una dimensión hueca finita exactamente cuando R R la tiene. Esto contrasta el caso de la dimensión uniforme finita, ya que se sabe que un anillo puede tener una dimensión uniforme finita en un lado y una dimensión uniforme infinita en el otro.
Libros de texto
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
Fuentes primarias
- ^ El mismo resultado se puede encontrar en ( Reiter 1981 ) y ( Hanna y Shamsuddin 1984 )
- Fleury, Patrick (1974), "Una nota sobre la dualización de la dimensión Goldie", Canadian Mathematical Bulletin , 17 : 511–517, doi : 10.4153 / cmb-1974-090-0
- Goldie, AW (1958), "La estructura de los anillos primarios en condiciones de cadena ascendente", Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 8 : 589–608, doi : 10.1112 / plms / s3-8.4.589 , ISSN 0024-6115 , MR 0103206
- Goldie, AW (1960), "Anillos semimprima con condición máxima", Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 10 : 201–220, doi : 10.1112 / plms / s3-10.1.201 , ISSN 0024-6115 , MR 0111766
- Grezeszcuk, P; Puczylowski, E (1984), "On Goldie and dual Goldie dimension", Journal of Pure and Applied Algebra , 31 : 47–55, doi : 10.1016 / 0022-4049 (84) 90075-6
- Hanna, A .; Shamsuddin, A. (1984), Dualidad en la categoría de módulos: Aplicaciones , Reinhard Fischer, ISBN 978-3889270177
- Miyashita, Y. (1966), "Módulos cuasi-proyectivos, módulos perfectos y un teorema para celosías modulares", J. Fac. Sci. Hokkaido Ser. I , 19 : 86-110, MR 0213390
- Reiter, E. (1981), "Una condición de cadena ascendente dual de Goldie en sumas directas de submódulos", Bull. Calcuta Math. Soc. , 73 : 55–63
- Sarath B .; Varadarajan, K. (1979), "Dual Goldie dimension II", Communications in Algebra , 7 (17): 1885-1899, doi : 10.1080 / 00927877908822434
- Takeuchi, T. (1976), "On cofinite-dimensional modules.", Hokkaido Journal of Mathematics , 5 (1): 1-43, doi : 10.14492 / hokmj / 1381758746 , ISSN 0385-4035 , MR 0213390
- Varadarajan, K. (1979), "Dimensión dual Goldie", Comm. Álgebra , 7 (6): 565–610, doi : 10.1080 / 00927877908822364 , ISSN 0092-7872 , MR 0524269