En álgebra abstracta , un módulo Artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en su conjunto de submódulos. Son para módulos lo que los anillos Artinianos son para anillos, y un anillo es Artiniano si y solo si es un módulo Artiniano sobre sí mismo (con multiplicación por izquierda o derecha). Ambos conceptos llevan el nombre de Emil Artin .
En presencia del axioma de elección , la condición de cadena descendente se vuelve equivalente a la condición mínima y, por lo tanto, puede usarse en la definición.
Como los módulos de Noetherian , los módulos de Artinian disfrutan de la siguiente propiedad hereditaria:
- Si M es un Artinian R -módulo, entonces también lo es cualquier submódulo y cualquier cociente de M .
Lo contrario también es válido:
- Si M es cualquier módulo R y N cualquier submódulo Artinian tal que M / N es Artinian, entonces M es Artinian.
Como consecuencia, cualquier módulo generado finitamente sobre un anillo artiniano es artiniano. [1] Dado que un anillo artiniano es también un anillo noetheriano , y los módulos generados finitamente sobre un anillo noetheriano son noetherianos, [1] es cierto que para un anillo artiniano R , cualquier módulo R generado finitamente es tanto noetheriano como artiniano. , y se dice que tiene una longitud finita ; sin embargo, si R no es artiniano, o si M no se genera de forma finita, existen contraejemplos .
Anillos, módulos y bimódulos artinianos izquierdo y derecho
El anillo R se puede considerar como un módulo derecho, donde la acción es la natural dada por la multiplicación del anillo a la derecha. R se llama artiniano derecho cuando este módulo derecho R es un módulo artiniano. La definición de "anillo artiniano izquierdo" se realiza de forma análoga. Para los anillos no conmutativos, esta distinción es necesaria, porque es posible que un anillo sea artiniano solo en un lado.
Los adjetivos de izquierda a derecha no son normalmente necesarios para los módulos, porque el módulo M generalmente se da como un módulo R izquierdo o derecho al principio. Sin embargo, es posible que M tenga una estructura de módulo R tanto a la izquierda como a la derecha , y luego llamar a M Artinian es ambiguo, y se hace necesario aclarar qué estructura de módulo es Artinian. Para separar las propiedades de las dos estructuras, se puede abusar de la terminología y referirse a M como artiniano izquierdo o artiniano derecho cuando, estrictamente hablando, es correcto decir que M , con su estructura de módulo R izquierdo , es artiniano.
La aparición de módulos con una estructura izquierda y derecha no es inusual: por ejemplo, R tiene una estructura de módulo R izquierda y derecha . De hecho, este es un ejemplo de un bimódulo , y es posible que un grupo abeliano M se convierta en un bimódulo izquierda- R , derecha- S para un anillo S diferente . De hecho, para cualquier módulo derecho M , es automáticamente un módulo izquierdo sobre el anillo de enteros Z , y además es un bimódulo Z - R. Por ejemplo, considere los números racionales Q como un bimódulo Z - Q de forma natural. Entonces Q no es Artiniano como módulo Z izquierdo , pero es Artiniano como módulo Q derecho .
La condición Artinian también se puede definir en estructuras bimodule: un bimodule Artinian es un bimodule cuyo conjunto de sub-bimodules satisface la condición de cadena descendente. Puesto que un sub-bimodule de un R - S bimodule M es a fortiori un izquierda R -módulo, si M considerado como un izquierda R módulo eran Artinian, entonces M es automáticamente un bimodule Artinian. Sin embargo, puede suceder que un bimódulo sea artiniano sin que sus estructuras izquierda o derecha sean artinianas, como se verá en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Es bien sabido que un anillo simple se deja Artiniano si y solo si es Artiniano correcto, en cuyo caso es un anillo semisimple . Sea R un simple anillo que no es correcto Artiniano. Entonces tampoco queda Artiniano. Considerando R como R - R bimodule de manera natural, sus sub-bimódulos son exactamente los ideales de R . Como R es simple, solo hay dos: R y el ideal cero. Por lo tanto, el bimódulo R es Artiniano como un bimódulo, pero no Artiniano como un módulo R izquierdo o derecho sobre sí mismo.
Relación con la condición noetheriana
A diferencia del caso de los anillos, hay módulos artinianos que no son módulos noetherianos . Por ejemplo, considere el componente p -primary de, es decir , que es isomorfo al p - grupo cuasicíclico , considerado como -módulo. La cadena no termina, entonces (y por lo tanto ) no es noetheriano. Sin embargo, cada cadena descendente de submódulos propios (sin pérdida de generalidad) termina: cada cadena tiene la forma para algunos enteros , y la inclusión de implica que debe dividir . Entonceses una secuencia decreciente de números enteros positivos. Así, la secuencia termina, haciendo Artiniano.
Sobre un anillo conmutativo, cada módulo Artiniano cíclico es también Noetheriano, pero sobre anillos no conmutativos los módulos Artinianos cíclicos pueden tener una longitud incontable como se muestra en el artículo de Hartley y se resume muy bien en el artículo de Paul Cohn dedicado a la memoria de Hartley.
Otro resultado relevante es el teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki , que establece que las condiciones artinianas y noetherianas son equivalentes para módulos sobre un anillo semiprimario.
Ver también
Notas
- ↑ a b Lam (2001), Proposición 1.21, p. 19 .
Referencias
- Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969). "Capítulo 6. Condiciones de la cadena; Capítulo 8. Anillos Artin". Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
- Cohn, PM (1997). "Módulos cíclicos artinianos sin serie de composición". J. London Math. Soc . Serie 2. 55 (2): 231–235. doi : 10.1112 / S0024610797004912 . Señor 1438626 .
- Hartley, B. (1977). "Innumerables módulos artinianos e incontables grupos solubles que satisfacen a Min-n". Proc. London Math. Soc . Serie 3. 35 (1): 55–75. doi : 10.1112 / plms / s3-35.1.55 . Señor 0442091 .
- Lam, TY (2001). "Capítulo 1. Teoría de Wedderburn-Artin". Un primer curso en anillos no conmutativos . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0.