En matemáticas , el teorema de Goldie es un resultado estructural básico en la teoría de anillos , probado por Alfred Goldie durante la década de 1950. Lo que ahora se denomina un derecho anillo Goldie es un anillo R que tiene finito dimensión uniforme (= "rango finito") como un módulo derecho sobre sí misma, y satisface la condición de cadena ascendente en la derecha aniquiladores de subconjuntos de R .
El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie derechos semiprime son precisamente aquellos que tienen un anillo de cocientes clásico derecho artiniano semisimple . La estructura de este anillo de cocientes está entonces completamente determinada por el teorema de Artin-Wedderburn .
En particular, el teorema de Goldie se aplica a los anillos noetherianos derechos semiprime , ya que, por definición, los anillos noetherianos derechos tienen la condición de cadena ascendente en todos los ideales correctos. Esto es suficiente para garantizar que un anillo noetheriano correcto es Goldie correcto. No ocurre lo contrario: todo dominio Ore correcto es un dominio Goldie correcto y, por lo tanto, también lo es todo dominio integral conmutativo .
Una consecuencia del teorema de Goldie, nuevamente debido a Goldie, es que todo anillo ideal derecho principal semiprime es isomorfo a una suma directa finita de anillos ideales derechos principales primos . Todo anillo ideal derecho principal principal es isomorfo a un anillo de matriz sobre un dominio Ore derecho.
Bosquejo de la prueba
Este es un bosquejo de la caracterización mencionada en la introducción. Se puede encontrar en ( Lam 1999 , p. 324).
- Si R es un anillo de Goldie derecho semiprime, entonces es un orden correcto en un anillo semisimple:
- Los ideales correctos esenciales de R son exactamente los que contienen un elemento regular .
- No hay no cero ideales nil en R .
- R es un anillo no singular derecho . [1]
- De las observaciones anteriores, R es un anillo mineral derecho , por lo que existe su anillo clásico derecho de cocientes Q r . También de las observaciones anteriores, Q r es un anillo semisimple. Por tanto, R es un orden correcto en Q r .
- Si R es un orden correcto en un anillo semisimple Q , entonces es Goldie derecho semiprime:
- Cualquier orden correcto en un anillo noetheriano (como Q ) es Goldie correcto.
- Cualquier orden correcto en un anillo semiprimo noetheriano (como Q ) es en sí mismo semiprimo.
- Por lo tanto, R es Goldie semiprime a la derecha.
Referencias
- ^ Esto puede deducirse de un teorema de Mewborn y Winton, que si un anillo satisface la condición máxima en aniquiladores derechos, entonces el ideal singular derecho es nilpotente. ( Lam 1999 , p. 252)
- Coutinho, SC; McConnell, JC (2003). "La búsqueda de anillo cociente (de anillos no conmutativos noetherianos". American Mathematical Monthly . 110 (4):. 298-313 CiteSeerX 10.1.1.296.8947 . Doi : 10.2307 / 3647879 . JSTOR 3.647.879 .
- Goldie, AW (1958). "La estructura de los anillos primarios en condiciones de cadena ascendente". Proc. London Math. Soc . 8 (4): 589–608. doi : 10.1112 / plms / s3-8.4.589 .
- Goldie, AW (1960). "Anillos de semi-cebado con condiciones máximas". Proc. London Math. Soc . 10 : 201–220. doi : 10.1112 / plms / s3-10.1.201 .
- Herstein, IN (1969). Temas en teoría de anillos . Conferencias de Chicago en matemáticas. Chicago, Ill .: Universidad de Chicago. Pr. págs. 61 –86. ISBN 978-0-226-32802-7.
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294