En matemáticas , una secuencia de funciones de un conjunto S a un espacio métrico M se dice que es uniformemente Cauchy si:
- Para todos , existe tal que para todos : cuando sea .
Otra forma de decir esto es que como , donde la distancia uniforme entre dos funciones se define por
Criterios de convergencia
Una secuencia de funciones { f n } de S a M es puntual Cauchy si, para cada x ∈ S , la secuencia { f n ( x )} es una secuencia de Cauchy en M . Esta es una condición más débil que ser uniformemente Cauchy.
En general, una secuencia puede ser Cauchy puntual y no convergente puntual, o puede ser Cauchy uniforme y no convergente uniformemente. Sin embargo, si el espacio métrico M es completa , entonces cualquier secuencia converge puntualmente Cauchy puntual a una función de S a M . De manera similar, cualquier secuencia de Cauchy uniforme tenderá uniformemente a tal función.
La propiedad uniforme de Cauchy se usa con frecuencia cuando S no es solo un conjunto, sino un espacio topológico , y M es un espacio métrico completo. Se cumple el siguiente teorema:
- Sea S un espacio topológico y M un espacio métrico completo. Entonces, cualquier uniformemente secuencia de Cauchy de funciones continuas f n : S → M tiende uniformemente a una función continua única f : S → M .
Generalización a espacios uniformes
Una secuencia de funciones de un conjunto S a un espacio métrico U se dice que es uniformemente Cauchy si:
- Para todos y para cualquier séquito , existe tal que cuando sea .