El propósito de este artículo es servir como un índice anotado de varios modos de convergencia y sus relaciones lógicas. Para obtener un artículo expositivo, consulte Modos de convergencia . Se indican relaciones lógicas simples entre diferentes modos de convergencia (por ejemplo, si uno implica otro), de manera formulada en lugar de en prosa para una referencia rápida, y las descripciones y discusiones en profundidad están reservadas para sus respectivos artículos.
Guía de este índice. Para evitar una verborrea excesiva, tenga en cuenta que cada uno de los siguientes tipos de objetos es un caso especial de los tipos que lo preceden: conjuntos , espacios topológicos , espacios uniformes , grupos abelianos topológicos (TAG), espacios vectoriales normativos , espacios euclidianos y lo real / complejo. números. También tenga en cuenta que cualquier espacio métrico es un espacio uniforme. Finalmente, los subtítulos siempre indicarán casos especiales de sus encabezamientos superiores.
La siguiente es una lista de modos de convergencia para:
Una secuencia de elementos { a n } en un espacio topológico ( Y )
- Convergencia , o "convergencia topológica" para enfatizar (es decir, la existencia de un límite).
... en un espacio uniforme ( U )
Trascendencia:
- Convergencia Convergencia de Cauchy
- Cauchy-convergencia y convergencia de una subsecuencia juntas convergencia.
- U se llama "completo" si Cauchy-convergencia (para redes) convergencia.
Nota: Una secuencia que presenta convergencia de Cauchy se denomina secuencia de cauchy para enfatizar que puede no ser convergente.
Una serie de elementos Σ b k en un TAG ( G )
- Convergencia (de secuencia de suma parcial)
- Convergencia de Cauchy (de secuencia de suma parcial)
- Convergencia incondicional
Trascendencia:
- Convergencia incondicional convergencia (por definición).
... en un espacio normado ( N )
- Convergencia absoluta (convergencia de)
Trascendencia:
- Convergencia absoluta Convergencia de Cauchy convergencia absoluta de alguna agrupación 1 .
- Por lo tanto: N es Banach (completo) si convergencia absoluta convergencia.
- Convergencia absoluta y convergencia juntas convergencia incondicional.
- Convergencia incondicional convergencia absoluta, incluso si N es Banach.
- Si N es un espacio euclidiano, entonces convergencia incondicional convergencia absoluta.
1 Nota: "agrupación" se refiere a una serie obtenida agrupando (pero no reordenando) los términos de la serie original. Por tanto, una agrupación de una serie corresponde a una subsecuencia de sus sumas parciales.
Una secuencia de funciones { f n } desde un conjunto ( S ) a un espacio topológico ( Y )
... de un conjunto ( S ) a un espacio uniforme ( U )
- Convergencia uniforme
- Convergencia de Cauchy puntual
- Convergencia uniforme de Cauchy
Las implicaciones son casos de anteriores, excepto:
- Convergencia uniforme tanto la convergencia puntual como la convergencia uniforme de Cauchy.
- Convergencia de Cauchy uniforme y convergencia puntual de una subsecuencia convergencia uniforme.
... de un espacio topológico ( X ) a un espacio uniforme ( U )
Para muchos modos de convergencia "global", existen nociones correspondientes de a ) convergencia "local" yb ) convergencia "compacta", que se dan al requerir que la convergencia ocurra a ) en alguna vecindad de cada punto, ob ) en todos los compactos subconjuntos de X . Ejemplos:
- Convergencia uniforme local (es decir, convergencia uniforme en una vecindad de cada punto)
- Convergencia compacta (uniforme) (es decir, convergencia uniforme en todos los subconjuntos compactos)
- más ejemplos de este patrón a continuación.
Trascendencia:
- Los modos de convergencia "global" implican los modos de convergencia "local" y "compacto" correspondientes. P.ej:
Convergencia uniforme tanto la convergencia local uniforme como la convergencia compacta (uniforme).
- Los modos de convergencia "locales" tienden a implicar modos de convergencia "compactos". P.ej,
Convergencia uniforme local convergencia compacta (uniforme).
- Si es localmente compacto, lo contrario a esto tiende a sostener:
Convergencia uniforme local convergencia compacta (uniforme).
... desde un espacio de medida (S, μ) a los números complejos (C)
- Casi en todas partes convergencia
- Convergencia casi uniforme
- Convergencia L p
- Convergencia en medida
- Convergencia en la distribución
Trascendencia:
- Convergencia puntual casi en todas partes convergencia.
- Convergencia uniforme convergencia casi uniforme.
- Casi en todas partes convergencia convergencia en la medida. (En un espacio de medida finito)
- Convergencia casi uniforme convergencia en la medida.
- Convergencia L p convergencia en la medida.
- Convergencia en medida convergencia en la distribución si μ es una medida de probabilidad y las funciones son integrables.
Una serie de funciones Σ g k de un conjunto ( S ) a un TAG ( G )
- Convergencia puntual (de secuencia de suma parcial)
- Convergencia uniforme (de secuencia de suma parcial)
- Convergencia de Cauchy puntual (de secuencia de suma parcial)
- Convergencia de Cauchy uniforme (de secuencia de suma parcial)
- Convergencia puntual incondicional
- Convergencia uniforme incondicional
Las implicaciones son todos los casos de los anteriores.
... de un conjunto ( S ) a un espacio normado ( N )
Generalmente, reemplazar "convergencia" por "convergencia absoluta" significa que uno se refiere a la convergencia de la serie de funciones no negativas en lugar de .
- Convergencia absoluta puntual (convergencia puntual de)
- Convergencia absoluta uniforme (convergencia uniforme de)
- Convergencia normal (convergencia de la serie de normas uniformes )
Las implicaciones son casos de anteriores, excepto:
- Convergencia normal convergencia absoluta uniforme
... de un espacio topológico ( X ) a un TAG ( G )
- Convergencia local uniforme (de secuencia de suma parcial)
- Convergencia compacta (uniforme) (de secuencia de suma parcial)
Las implicaciones son todos los casos de los anteriores.
... de un espacio topológico ( X ) a un espacio normado ( N )
- Convergencia absoluta uniforme local
- Convergencia absoluta compacta (uniforme)
- Convergencia local normal
- Convergencia normal compacta
Implicaciones (principalmente casos de anteriores):
- Convergencia absoluta uniforme tanto la convergencia absoluta uniforme local como la convergencia absoluta compacta (uniforme).
Convergencia normal tanto la convergencia normal local como la convergencia normal compacta.
- Convergencia local normal convergencia absoluta uniforme local.
Convergencia normal compacta convergencia absoluta compacta (uniforme).
- Convergencia absoluta uniforme local convergencia absoluta compacta (uniforme).
Convergencia local normal convergencia normal compacta
- Si X es localmente compacto:
Convergencia absoluta uniforme local convergencia absoluta compacta (uniforme).
Convergencia local normal convergencia normal compacta