En la mecánica de contacto , el término contacto unilateral , también llamado restricción unilateral , denota una restricción mecánica que evita la penetración entre dos cuerpos rígidos / flexibles. Las restricciones de este tipo son omnipresentes en aplicaciones de dinámica multicuerpo no uniforme , como flujos granulares, [1] robot con patas , dinámica de vehículos , amortiguación de partículas , juntas imperfectas [2] o aterrizajes de cohetes. En estas aplicaciones, las restricciones unilaterales provocan impactos, por lo que se requieren métodos adecuados para hacer frente a tales restricciones.
Modelado de las restricciones unilaterales
Existen principalmente dos tipos de métodos para modelar las restricciones unilaterales. El primer tipo se basa en la dinámica de contacto suave , incluidos métodos que utilizan modelos de Hertz, métodos de penalización y algunos modelos de fuerza de regularización, mientras que el segundo tipo se basa en la dinámica de contacto no suave , que modela el sistema con contactos unilaterales como desigualdades variacionales .
Dinámica de contacto suave
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Hertz_contact_animated.gif/170px-Hertz_contact_animated.gif)
En este método, las fuerzas normales generadas por las restricciones unilaterales se modelan de acuerdo con las propiedades materiales locales de los cuerpos. En particular, los modelos de fuerza de contacto se derivan de la mecánica del continuo y se expresan como funciones del espacio y la velocidad de impacto de los cuerpos. A modo de ejemplo, en la figura de la derecha se muestra una ilustración del modelo de contacto clásico de Hertz . En tal modelo, el contacto se explica por la deformación local de los cuerpos. Se pueden encontrar más modelos de contacto en algunos trabajos científicos de revisión [3] [4] [5] o en el artículo dedicado a la mecánica de contacto .
Dinámica de contacto no suave
En el método no suave, las interacciones unilaterales entre cuerpos se modelan fundamentalmente por la condición de Signorini [6] para la no penetración, y las leyes de impacto se utilizan para definir el proceso de impacto. [7] La condición de Signorini puede expresarse como el problema de complementariedad:
,
dónde denota la distancia entre dos cuerpos y denota la fuerza de contacto generada por las restricciones unilaterales, como se muestra en la figura siguiente. Además, en términos del concepto de punto proximal de la teoría convexa, la condición de Signorini se puede expresar de manera equivalente [6] [8] como:
,
dónde denota un parámetro auxiliar, y representa el punto proximal en el conjunto a la variable , [9] definido como:
.
Ambas expresiones anteriores representan el comportamiento dinámico de las restricciones unilaterales: por un lado, cuando la distancia normal está por encima de cero, el contacto está abierto, lo que significa que no hay fuerza de contacto entre los cuerpos, ; por otro lado, cuando la distancia normal es igual a cero, el contacto está cerrado, lo que da como resultado .
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/7/72/Contact_dynamics_unilateral.jpg)
Cuando se implementan métodos basados en la teoría no suave, la condición de Signorini de velocidad o la condición de Signorini de aceleración se emplean en la mayoría de los casos. La condición de velocidad de Signorini se expresa como: [6] [10]
,
dónde denota la velocidad normal relativa después del impacto. La condición de velocidad Signorini debe entenderse junto con las condiciones anteriores.. La condición de aceleración Signorini se considera bajo contacto cerrado (), como: [8]
,
donde los sobrepuntos denotan la derivada de segundo orden con respecto al tiempo.
Cuando se utiliza este método para restricciones unilaterales entre dos cuerpos rígidos, la condición de Signorini por sí sola no es suficiente para modelar el proceso de impacto, por lo que también se requieren leyes de impacto, que brindan información sobre los estados antes y después del impacto [6] . Por ejemplo, cuando se emplea la ley de restitución de Newton, un coeficiente de restitución se definirá como:, dónde denota la velocidad normal relativa antes del impacto.
Restricciones unilaterales por fricción
Para las restricciones unilaterales de fricción, las fuerzas de contacto normales se modelan mediante uno de los métodos anteriores, mientras que las fuerzas de fricción se describen comúnmente mediante la ley de fricción de Coulomb . La ley de fricción de Coulomb se puede expresar de la siguiente manera: cuando la velocidad tangencial no es igual a cero, es decir, cuando los dos cuerpos se deslizan, la fuerza de fricción es proporcional a la fuerza de contacto normal ; cuando en cambio la velocidad tangencial es igual a cero, es decir, cuando los dos cuerpos son relativamente estables, la fuerza de fricción no es más que el máximo de la fuerza de fricción estática. Esta relación se puede resumir utilizando el principio de máxima disipación, [6] como
dónde
representa el cono de fricción, y denota el coeficiente de fricción cinemático. De manera similar a la fuerza de contacto normal, la formulación anterior se puede expresar de manera equivalente en términos de la noción de punto proximal como: [6]
,
dónde denota un parámetro auxiliar.
Técnicas de solución
Si las restricciones unilaterales son modeladas por los modelos de contacto basados en la mecánica continua, las fuerzas de contacto se pueden calcular directamente a través de una fórmula matemática explícita, que depende del modelo de contacto elegido. Si, en cambio, se emplea el método basado en la teoría no uniforme, hay dos formulaciones principales para la solución de las condiciones de Signorini: la formulación del problema de complementariedad lineal / no lineal (N / LCP) y la formulación lagrangiana aumentada. Con respecto a la solución de modelos de contacto, el método no suave es más tedioso, pero menos costoso desde el punto de vista computacional. Pazouki et al. Llevaron a cabo una comparación más detallada de los métodos de solución utilizando modelos de contacto y teoría no uniforme. [11]
Formulaciones N / LCP
Siguiendo este enfoque, la solución de ecuaciones dinámicas con restricciones unilaterales se transforma en la solución de N / LCP. En particular, para las restricciones unilaterales sin fricción o las restricciones unilaterales con fricción plana, el problema se transforma en LCP, mientras que para las restricciones unilaterales friccionales, el problema se transforma en NCP. Para resolver LCP, el algoritmo pivotante , que se origina en el algoritmo de Lemek y Dantzig, es el método más popular. [8] Desafortunadamente, sin embargo, los experimentos numéricos muestran que el algoritmo pivotante puede fallar cuando se manejan sistemas con una gran cantidad de contactos unilaterales, incluso usando las mejores optimizaciones. [12] Para los NCP, el uso de una aproximación poliédrica puede transformar los NCP en un conjunto de LCP, que luego puede ser resuelto por el solucionador de LCP. [13] Otros enfoques más allá de estos métodos, como las funciones NCP [14]
[15] [16] o métodos basados en problemas de complementariedad de conos (CCP) [17] [18] también se emplean para resolver NCP.
Formulación lagrangiana aumentada
A diferencia de las formulaciones N / LCP, la formulación lagrangiana aumentada utiliza las funciones proximales descritas anteriormente, . Junto con las ecuaciones dinámicas, esta formulación se resuelve mediante algoritmos de búsqueda de raíces . Mashayekhi et al. Llevaron a cabo un estudio comparativo entre las formulaciones de LCP y la formulación lagrangiana aumentada. [9]
Ver también
- Dinámica multicuerpo
- dinámica de contacto : movimiento de sistemas multicuerpo
- Mecánica de contacto - Estudio de la deformación de sólidos que se tocan.
- Método de elementos discretos : métodos numéricos para calcular el movimiento y el efecto de una gran cantidad de partículas pequeñas.
- Mecánica no suave : un enfoque de modelado en mecánica que ya no requiere que las evoluciones en el tiempo de las posiciones y de las velocidades sean funciones suaves.
- Respuesta de colisión
- Desigualdades variacionales
Referencias
- ^ Anitescu, Mihai; Tasora, Alessandro (26 de noviembre de 2008). "Un enfoque iterativo para problemas de complementariedad de cono para dinámicas no suaves" (PDF) . Optimización Computacional y Aplicaciones . 47 (2): 207–235. doi : 10.1007 / s10589-008-9223-4 . S2CID 1107494 .
- ^ Flores, Paulo (7 de marzo de 2010). "Un estudio paramétrico sobre la respuesta dinámica de sistemas multicuerpo planos con múltiples juntas de holgura". Dinámica no lineal . 61 (4): 633–653. doi : 10.1007 / s11071-010-9676-8 . hdl : 1822/23520 . S2CID 92980088 .
- ^ Machado, Margarida; Moreira, Pedro; Flores, Paulo; Lankarani, Hamid M. (julio de 2012). "Modelos de fuerza de contacto compatibles en dinámica multicuerpo: evolución de la teoría de contacto de Hertz". Teoría de Mecanismos y Máquinas . 53 : 99-121. doi : 10.1016 / j.mechmachtheory.2012.02.010 . hdl : 1822/19623 .
- ^ Gilardi, G .; Sharf, I. (octubre de 2002). "Levantamiento de literatura de modelado de dinámica de contactos". Teoría de Mecanismos y Máquinas . 37 (10): 1213-1239. doi : 10.1016 / S0094-114X (02) 00045-9 .
- ^ Alves, Janete; Peixinho, Nuno; da Silva, Miguel Tavares; Flores, Paulo; Lankarani, Hamid M. (marzo de 2015). "Un estudio comparativo de los modelos constitutivos viscoelásticos para interfaces de contacto sin fricción en sólidos". Teoría de Mecanismos y Máquinas . 85 : 172-188. doi : 10.1016 / j.mechmachtheory.2014.11.020 . hdl : 1822/31823 .
- ^ a b c d e f Jean, M. (julio de 1999). "El método de dinámica de contacto no suave" (PDF) . Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas . 177 (3–4): 235–257. doi : 10.1016 / S0045-7825 (98) 00383-1 .
- ^ Pfeiffer, Friedrich (14 de marzo de 2012). "Sobre dinámicas multicuerpo no fluidas". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos, Parte K: Revista de dinámica multicuerpo . 226 (2): 147-177. doi : 10.1177 / 1464419312438487 . S2CID 123605632 .
- ^ a b c Pfeiffer, Friedrich; Foerg, Martin; Ulbrich, Heinz (octubre de 2006). "Aspectos numéricos de la dinámica multicuerpo no fluida" . Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas . 195 (50–51): 6891–6908. doi : 10.1016 / j.cma.2005.08.012 .
- ^ a b Jalali Mashayekhi, Mohammad; Kövecses, József (agosto de 2017). "Un estudio comparativo entre el método lagrangiano aumentado y el enfoque de complementariedad para modelar el problema de contacto" . Dinámica de sistemas multicuerpo . 40 (4): 327–345. doi : 10.1007 / s11044-016-9510-2 . ISSN 1384-5640 . S2CID 123789094 .
- ^ Tasora, A .; Anitescu, M. (enero de 2011). "Un enfoque de complementariedad de cono sin matriz para resolver la dinámica de cuerpo rígido, no suave y a gran escala" . Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas . 200 (5–8): 439–453. doi : 10.1016 / j.cma.2010.06.030 .
- ^ Pazouki, Arman; Kwarta, Michał; Williams, Kyle; Likos, William; Serban, Radu; Jayakumar, Paramsothy; Negrut, Dan (13 de octubre de 2017). "Contacto obediente versus contacto rígido: una comparación en el contexto de la dinámica granular" . Revisión E física . 96 (4): 042905. doi : 10.1103 / PhysRevE.96.042905 . ISSN 2470-0045 . PMID 29347540 .
- ^ Anitescu, Mihai; Tasora, Alessandro (26 de noviembre de 2008). "Un enfoque iterativo para problemas de complementariedad de cono para dinámicas no suaves" (PDF) . Optimización Computacional y Aplicaciones . 47 (2): 207–235. doi : 10.1007 / s10589-008-9223-4 . S2CID 1107494 .
- ^ Xu, Ziyao; Wang, Qi; Wang, Qingyun (diciembre de 2017). "Método numérico para la dinámica de sistemas multicuerpo con fricción seca bidimensional de Coulomb y restricciones no holonómicas" . Matemática Aplicada y Mecánica . 38 (12): 1733-1752. doi : 10.1007 / s10483-017-2285-8 . ISSN 0253-4827 . S2CID 125402414 .
- ^ Stavroulakis, GE; Antes, H. (2000). "Enfoque de ecuación no lineal para elastostatics de desigualdad: una implementación de BEM bidimensional" . Computadoras y Estructuras . 75 (6): 631–646. doi : 10.1016 / S0045-7949 (99) 00111-X .
- ^ Mangasarian, OL (julio de 1976). "Equivalencia del problema de complementariedad a un sistema de ecuaciones no lineales" . Revista SIAM de Matemática Aplicada . 31 (1): 89–92. doi : 10.1137 / 0131009 . ISSN 0036-1399 .
- ^ Fischer, A. (enero de 1992). "Un método de optimización especial de tipo newton" . Optimización . 24 (3–4): 269–284. doi : 10.1080 / 02331939208843795 . ISSN 0233-1934 .
- ^ Melanz, Daniel; Fang, Luning; Jayakumar, Paramsothy; Negrut, Dan (junio de 2017). "Una comparación de métodos numéricos para resolver problemas de dinámica multicuerpo con contacto de fricción modelado a través de desigualdades variacionales diferenciales" . Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas . 320 : 668–693. doi : 10.1016 / j.cma.2017.03.010 .
- ^ Negrut, Dan; Serban, Radu; Tasora, Alessandro (1 de enero de 2018). "Presentación de la dinámica multicuerpo con fricción y contacto como problema de complementariedad diferencial" . Revista de dinámica computacional y no lineal . 13 (1): 014503. doi : 10.1115 / 1.4037415 . ISSN 1555-1415 .
Otras lecturas
Software de código abierto
Códigos de fuente abierta y paquetes no comerciales que utilizan el método de base no fluida:
- Siconos - Software científico de código abierto para modelar sistemas dinámicos no fluidos
- Chrono , un motor de simulación multifísica de código abierto, ver también el sitio web del proyecto
Libros y articulos
- Acary V., Brogliato B. Métodos numéricos para sistemas dinámicos no suaves. Aplicaciones en Mecánica y Electrónica. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
- Brogliato B. Mecánica no suave. Serie de ingeniería de comunicaciones y control Springer-Verlag, Londres, 1999 (2ª Ed.)
- Demyanov, VF, Stavroulakis, GE, Polyakova, LN, Panagiotopoulos, PD "Cuasidiferenciabilidad y modelado no uniforme en mecánica, ingeniería y economía" Springer 1996
- Glocker, cap. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen , volumen 18/182 de VDI Fortschrittsberichte Mechanik / Bruchmechanik. VDI Verlag, Düsseldorf, 1995
- Glocker Ch. y Studer C. Formulación y preparación para la Evaluación Numérica de Sistemas de Complementariedad Lineal. Dinámica de sistemas multicuerpo 13 (4): 447-463, 2005
- Jean M. El método de dinámica de contacto no suave. Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas 177 (3-4): 235-257, 1999
- Moreau JJ Contacto Unilateral y Fricción Seca en Dinámica de Libertad Finita, volumen 302 de Mecánica y Aplicaciones No Suaves, Cursos y Conferencias CISM . Springer, Viena, 1988
- Pfeiffer F., Foerg M. y Ulbrich H. Aspectos numéricos de la dinámica multicuerpo no suave. Computación. Métodos Appl. Mech. Engrg 195 (50-51): 6891-6908, 2006
- Potra FA, Anitescu M., Gavrea B. y Trinkle J. Un método trapezoidal linealmente implícito para integrar dinámicas multicuerpo rígidas con contactos, juntas y fricción. En t. J. Numer. Meth. Engng 66 (7): 1079-1124, 2006
- Stewart DE y Trinkle JC Un esquema de pasos temporales implícitos para la dinámica de cuerpos rígidos con colisiones inelásticas y fricción de Coulomb. En t. J. Numer. Ingeniería de métodos 39 (15): 2673-2691, 1996
- Studer C.Integración progresiva aumentada de sistemas dinámicos no fluidos , tesis doctoral ETH Zurich, ETH E-Collection, que aparecerá en 2008
- Studer C.Numérica de contactos unilaterales y fricción: modelado e integración de tiempo numérico en dinámicas no suaves , notas de clase en mecánica aplicada y computacional, volumen 47, Springer, Berlín, Heidelberg, 2009