En geometría y teoría de grupos matemática , un retículo unimodular es un retículo integral del determinante 1 o -1. Para una celosía en el espacio euclidiano n- dimensional, esto equivale a requerir que el volumen de cualquier dominio fundamental para la celosía sea 1.
Una celosía es unimodular si y solo si su celosía dual es integral. Las celosías unimodulares son iguales a sus celosías duales y, por esta razón, las celosías unimodulares también se conocen como auto-duales.
Dado un par ( m , n ) de enteros no negativos, existe un entramado unimodular par de firma ( m , n ) si y solo si mn es divisible por 8, pero siempre existe un entramado unimodular impar de firma ( m , n ). En particular, incluso las celosías definidas unimodulares sólo existen en la dimensión divisible por 8. Los ejemplos en todas las firmas admisibles están dados por las construcciones II m, n y I m, n , respectivamente.
La función theta de una celosía definida positiva unimodular es una forma modular cuyo peso es la mitad del rango. Si la celosía es par, la forma tiene nivel 1, y si la celosía es impar, la forma tiene estructura Γ 0 (4) (es decir, es una forma modular de nivel 4). Debido a la dimensión delimitada en los espacios de formas modulares, la norma mínima de un vector distinto de cero de un retículo unimodular par no es mayor que ⎣ n / 24⎦ + 1. Un retículo unimodular par que logra este límite se llama extremal. Las celosías extremas incluso unimodulares son conocidas en dimensiones relevantes hasta 80, [1] y su inexistencia ha sido probada para dimensiones superiores a 163,264. [2]
Para celosías indefinidas, la clasificación es fácil de describir. Escriba R m, n para el espacio vectorial dimensional m + n R m + n con el producto interno de ( a 1 , ..., a m + n ) y ( b 1 , ..., b m + n ) dado por
Esto viene dado por todos los vectores ( a 1 , ..., a m + n ) en R m , n tales que o todos los a i son enteros o todos son enteros más 1/2, y su suma es par. La celosía II 8,0 es la misma que la celosía E 8 .