Unidad (teoría de anillos)
En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , una unidad de un anillo es cualquier elemento que tiene un inverso multiplicativo en : un elemento tal que
donde 1 es la identidad multiplicativa . [1] [2] El conjunto de unidades de R forma un grupo R × bajo multiplicación, llamado grupo de unidades o grupo unitario de R . [a] Otras notaciones para el grupo de unidades son R ∗ , U( R ) y E( R ) (del término alemán Einheit ).
Con menos frecuencia, el término unidad también se utiliza para referirse al elemento 1 del anillo, en expresiones como anillo con una unidad o anillo de unidad , y también, por ejemplo , matriz de 'unidad' . Por esta razón, algunos autores llaman a 1 "unidad" o "identidad", y dicen que R es un "anillo con unidad" o un "anillo con identidad" en lugar de un "anillo con una unidad".
La identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo −1 son siempre unidades. Más generalmente, cualquier raíz de la unidad en un anillo R es una unidad: si r n = 1 , entonces r n − 1 es un inverso multiplicativo de r . En un anillo distinto de cero , el elemento 0 no es una unidad, por lo que R × no es cerrado bajo la suma. Un anillo R distinto de cero en el que cada elemento distinto de cero es una unidad (es decir, R × = R −{0} ) se llama anillo de división(o un campo sesgado). Un anillo de división conmutativa se llama campo . Por ejemplo, el grupo unitario del campo de los números reales R es R − {0 }.
En el anillo Z / n Z de enteros módulo n , las unidades son las clases de congruencia ( mod n ) representadas por enteros coprimos a n . Constituyen el grupo multiplicativo de los enteros módulo n .
En el anillo Z [ √ 3 ] obtenido al unir el entero cuadrático √ 3 a Z , se tiene (2 + √ 3 )(2 - √ 3 ) = 1 , por lo que 2 + √ 3 es una unidad, al igual que sus potencias , entonces Z [ √ 3 ] tiene infinitas unidades.