Unidad (teoría del anillo)
En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , una unidad de un anillo es cualquier elemento que tiene un inverso multiplicativo en : un elemento tal que
donde 1 es la identidad multiplicativa . [1] [2] El conjunto de unidades U ( R ) de un anillo forma un grupo bajo multiplicación.
Con menos frecuencia, el término unidad también se usa para referirse al elemento 1 del anillo, en expresiones como anillo con una unidad o anillo de unidad , y también, por ejemplo , matriz de "unidad" . Por esta razón, algunos autores llaman 1 "unidad" o "identidad", y dicen que R es un "anillo con unidad" o un "anillo con identidad" en lugar de un "anillo con una unidad".
La identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo -1 son siempre unidades. De manera más general, cualquier raíz de la unidad en un anillo R es una unidad: si r n = 1 , entonces r n - 1 es un inverso multiplicativo de r . En un anillo distinto de cero , el elemento 0 no es una unidad, por lo que U ( R ) no se cierra bajo la suma. Un anillo R en el que cada elemento distinto de cero es una unidad (es decir, U ( R ) = R - {0} ) se llama anillo de división(o un campo sesgado). Un anillo de división conmutativa se llama campo . Por ejemplo, el grupo de unidades del campo de números reales R es R - {0 }.
El anillo de números enteros en un campo numérico puede tener más unidades en general. Por ejemplo, en el anillo Z [ 1 + √ 5 / 2 ] que surge por contigua al número entero cuadrática 1 + √ 5 / 2 a Z , uno tiene
en el anillo, por lo que √ 5 + 2 es una unidad. (De hecho, el grupo unitario de este anillo es infinito. [ Cita requerida ] )