Celda unitaria

Unidad de repetición formada por los vectores que atraviesan los puntos de una celosía

En geometría , biología , mineralogía y física del estado sólido , una celda unitaria es una unidad repetitiva formada por los vectores que abarcan los puntos de una red. ^[1]

El concepto se utiliza particularmente para describir la estructura cristalina en dos y tres dimensiones, aunque tiene sentido en todas las dimensiones. Una celosía se puede caracterizar por la geometría de su celda unitaria. La celda unitaria es una sección del mosaico (un paralelogramo o paralelepípedo ) que genera el mosaico completo utilizando solo traslaciones.

Hay dos casos especiales de la celda unitaria: la celda primitiva y la celda convencional . La celda primitiva es una celda unitaria correspondiente a un solo punto de celosía , es la celda unitaria más pequeña posible. En algunos casos, la simetría completa de una estructura cristalina no es obvia a partir de la celda primitiva, en cuyo caso se puede usar una celda convencional. Una celda convencional (que puede ser primitiva o no) es una celda unitaria con la simetría completa de la celosía y puede incluir más de un punto de celosía. Las celdas unitarias convencionales son paralelootopos en n dimensiones.

Celda primitiva

Una celda primitiva es una celda unitaria que contiene solo uno y exactamente un punto de celosía. Para las celdas unitarias en general, los puntos de celosía que son compartidos por n celdas se cuentan como1/nortede los puntos de celosía contenidos en cada una de esas celdas; así, por ejemplo, una celda unitaria primitiva en tres dimensiones que tiene puntos de celosía solo en sus ocho vértices se considera que contiene1/8de cada uno de ellos. ^[2] Una conceptualización alternativa es elegir consistentemente sólo uno de los n puntos de la red para que pertenezca a la celda unitaria dada (por lo que los otros 1-n puntos de la red pertenecen a celdas unitarias adyacentes).

Los vectores de traducción primitivos a → ₁ , a → ₂ , a → ₃ abarcan una celda de celosía de menor volumen para una celosía tridimensional particular, y se utilizan para definir un vector de traducción de cristal

${\displaystyle {\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},}$

donde u ₁ , u ₂ , u ₃ son números enteros, traducción por la cual deja la celosía invariante. ^{[nota 1]} Es decir, para un punto en la red r , la disposición de los puntos parece la misma de r ′ = r + T → que de r . ^[3]

Dado que la celda primitiva está definida por los ejes primitivos (vectores) a → ₁ , a → ₂ , a → ₃ , el volumen V _p de la celda primitiva viene dado por el paralelepípedo de los ejes anteriores como

${\displaystyle V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.}$

Por lo general, las celdas primitivas en dos y tres dimensiones se eligen para que tomen la forma de paralelogramos y paralelepípedos, con un átomo en cada esquina de la celda. Esta elección de celda primitiva no es única, pero el volumen de celdas primitivas siempre estará dado por la expresión anterior. ^[4]

Celda de Wigner-Seitz

Además de las células primitivas del paralelepípedo, por cada celosía de Bravais hay otro tipo de célula primitiva llamada célula de Wigner-Seitz. En la celda de Wigner-Seitz, el punto de la celosía está en el centro de la celda y, para la mayoría de las celosías de Bravais, la forma no es un paralelogramo ni un paralelepípedo. Este es un tipo de celda de Voronoi . La celda de Wigner-Seitz del retículo recíproco en el espacio de momento se llama zona de Brillouin .

Celda convencional

Para cada retícula particular, los cristalógrafos han elegido una celda convencional caso por caso basándose en la conveniencia del cálculo. ^[5] Estas celdas convencionales pueden tener puntos de celosía adicionales ubicados en el medio de las caras o el cuerpo de la celda unitaria. El número de puntos de celosía, así como el volumen, de la celda convencional es un múltiplo entero (típicamente 1, 2, 3 o 4) del de la celda primitiva. ^[6]

Dos dimensiones

El paralelogramo es la celda primitiva general del avión.

Para cualquier celosía bidimensional, las celdas unitarias son paralelogramos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambas. Cuatro de las cinco celosías de Bravais bidimensionales se representan utilizando células primitivas convencionales, como se muestra a continuación.

Celda primitiva convencional
Nombre de la forma	Paralelogramo	Rectángulo	Cuadrado	Rombo
Celosía Bravais	Oblicuo primitivo	Rectangular primitivo	Cuadrado primitivo	Hexagonal primitivo

La celosía rectangular centrada también tiene una celda primitiva en forma de rombo, pero para permitir una fácil discriminación sobre la base de la simetría, está representada por una celda convencional que contiene dos puntos de celosía.

Celda primitiva
Nombre de la forma	Rombo
Celda convencional
Celosía Bravais	Rectangular centrado

Tres dimensiones

Un paralelepípedo es una celda primitiva general para el espacio tridimensional.

Para cualquier celosía tridimensional, las celdas unitarias convencionales son paralelepípedos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambos. Siete de las catorce celosías de Bravais tridimensionales se representan utilizando células primitivas convencionales, como se muestra a continuación.

Celda primitiva convencional
Nombre de la forma	Paralelepípedo	Prisma rectangular oblicuo	Cuboide rectangular	Cuboide cuadrado	Trapezoedro trigonal	Cubo
Celosía Bravais	Triclínica primitiva	Monoclínico primitivo	Ortorrómbico primitivo	Tetragonal primitivo	Romboédrico primitivo	Cúbico primitivo	Hexagonal primitivo

Las otras siete celosías de Bravais (conocidas como celosías centradas) también tienen celdas primitivas en forma de paralelepípedo, pero para permitir una fácil discriminación sobre la base de la simetría, están representadas por celdas convencionales que contienen más de un punto de celosía.

Celda primitiva
Nombre de la forma	Prisma rómbico oblicuo	Prisma rómbico derecho
Celda convencional
Celosía Bravais	Monoclínico centrado en la base	Ortorrómbico centrado en la base	Ortorrómbico centrado en el cuerpo	Ortorrómbico centrado en la cara	Tetragonal centrado en el cuerpo	Cúbico centrado en el cuerpo	Cúbico centrado en la cara

Ver también

• Celda de Wigner-Seitz
• Celosía Bravais
• Grupo de papel tapiz
• Grupo espacial

Notas

1. En n dimensiones, el vector de traslación del cristal sería

   ${\displaystyle {\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.}$

   Es decir, para un punto en la red r , la disposición de los puntos parece la misma desde r ′ = r + T → como desde r .

Referencias

1. Ashcroft, Neil W. (1976). "Capítulo 4". Física del estado sólido . Compañía WB Saunders. pag. 72. ISBN 0-03-083993-9.
2. "DoITPoMS - Cristalografía de biblioteca TLP - Unidad de celda" . Recursos de aprendizaje de ciencia de materiales en línea: DoITPoMS . Universidad de Cambridge . Consultado el 21 de febrero de 2015 .
3. Kittel, Charles. Introducción a la física del estado sólido (8 ed.). Wiley. pag. 4 . ISBN 978-0-471-41526-8.
4. Mehl, Michael J .; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M .; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). "La biblioteca AFLOW de prototipos cristalográficos: parte 1". Ciencia de los materiales computacionales . Elsevier BV. 136 : S1 – S828. arXiv : 1806.07864 . doi : 10.1016 / j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . 
5. Aroyo, MI, ed. (31 de diciembre de 2016). "Tablas internacionales de cristalografía". Tablas internacionales de cristalografía . Chester, Inglaterra: Unión Internacional de Cristalografía. pag. 25. doi : 10.1107 / 97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0.
6. Ashcroft, Neil W. (1976). Física del estado sólido . Compañía WB Saunders. pag. 73. ISBN 0-03-083993-9.