Constante parabólica universal

La constante parabólica universal es la longitud del rojo dividida por la longitud del verde.

La constante parabólica universal es una constante matemática .

Se define como la relación, para cualquier parábola , entre la longitud del arco del segmento parabólico formado por el latus recto y el parámetro focal. El parámetro focal es el doble de la distancia focal . La relación se denota  P . ^{[1] [2] [3]} En el diagrama, el recto latus se representa en azul, el segmento parabólico que forma en rojo y el parámetro focal en verde. (El foco de la parábola es el punto F y la directriz es la línea L. )

El valor de P es ^[4]

${\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\dots }$

(secuencia A103710 en la OEIS ). El círculo y la parábola son únicos entre las secciones cónicas porque tienen una constante universal. Las relaciones análogas para elipses e hipérbolas dependen de sus excentricidades . Esto significa que todos los círculos son similares y todas las parábolas son similares, mientras que las elipses y las hipérbolas no lo son.

Derivación

Toma como ecuación de la parábola. El parámetro focal es y el recto semilato es .${\textstyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}$${\displaystyle p=2f}$${\displaystyle \ell =2f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=2ft)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$$

Propiedades

P es un número trascendental .

Prueba . Suponga que P es algebraico . Entonces también debe ser algebraico. Sin embargo, según el teorema de Lindemann-Weierstrass , sería trascendental, que no es el caso. Por tanto, P es trascendental.${\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}$${\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}$

Dado que P es trascendental, también es irracional .

Aplicaciones

La distancia promedio desde un punto seleccionado al azar en el cuadrado unitario hasta su centro es ^[5]

${\displaystyle d_{\text{avg}}={P \over 6}.}$

Prueba .

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}.\end{aligned}}}$

Referencias y notas a pie de página

1. Sylvester Reese y Jonathan Sondow. "Constante Parabólica Universal" . MathWorld ., un recurso de Wolfram Web.
2. Reese, Sylvester. "Video conferencia del Coloquio de Pohle: La constante parabólica universal" . Consultado el 2 de febrero de 2005 .
3. Sondow, Jonathan (2012). "Los parbelos, un análogo parabólico de los arbelos". arXiv : 1210.2279 [ matemáticas.HO ]. American Mathematical Monthly , 120 (2013), 929-935.
4. Ver Parábola # Longitud del arco . Utilice, la longitud del recto semilato, asíy. Calculeen términos de, luego divida por, cuál es el parámetro focal.${\displaystyle p=2f}$${\displaystyle h=f}$${\displaystyle q=f{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 2s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 2f}$
5. Weisstein, Eric W. "Selección de puntos cuadrados" . MathWorld . , un recurso de Wolfram Web.